Приравняв правые части уравнений (9) и (10), получим

(11)

Это нелинейное дифференциальное уравнение не решается в элементарных функциях (оно решается с помощью эллиптических ин­тегралов первого и второго рода). Однако в определенной области значений dZ / dX его можно упростить. Пренебрегая квадратом производной dZ / dX ввиду его малости по сравнению с единицей, получаем

(12)

25

При выбранном положительном направлении изгибающих моментов знак плюс будет, если ось аппликат Z направлена вверх, а вы­пуклость изогнутой положительными моментамиМи. оси балки - вниз. Рассчитаем прогиб балки (рис. 4), для которойM_u = F(l – x),После первого интернирования дифференциального уравнения (12) имеем

,

после второго интегрирования

, (13)

где С и D - постоянные интегрирования находятся из гра­ничных условий: при Х=0,С=О и D=O, поскольку dZ / dX | _{x = 0} = 0, Z(0) =0.

Тогда наибольший прогиб балки имеет место при Х = l , подста­вив это значение X в формулу (13), получим:

. (14)

Для других видов балок и их нагружений общее решение дифференциального уравнения (12) позволяет найти изогнутую ось балки при любом ее нагружении.

Задание № 4. Изучить параметры, характеризующие жесткость элементов конструкции. В заготовку отчета занести способы закрепления и коэффициенты, характеризующие жесткость конструкции РЭС.

26

Методические указания по выполнению четвертого задания

При выполнении задания проработать материал, изложенной в соответствующей литературе /4, с. 212-214/. При проработке ма­териала следует учесть, что жесткость конструкций РЭС зависит от характера приложения нагрузки и способа крепления элементов, свя­занного с коэффициентом К (рис. 5).

Степень жесткости конструкций РЭС характеризуется коэффи­циентом жесткости λ , Коэффициент жесткости балки постоян­ного сечения при работе на изгиб равен

(15)

Балка, свободно лежащая на двух опорах и нагруженная рав­номерно распределенной нагрузкой, обладает жесткостью в 1,5 раза большей, чем балка той же длины, нагруженная сосредоточенной нагрузкой и в 4 - 8 раз меньше жесткости с заделанными концами.

Рис. 5. Варианты закрепления балок

27

При работе на кручение коэффициент жесткости равен

, (16)

при работе на растяжение-сжатие

, (17)

где I - момент инерции сечения балки (бруса) ;

Е - модуль норма; ной упругости материала;

F - действующая сила;

f - прогиб (максимальная деформация) ;

M - крутящий момент;

I_ρ - полярный момент инерции сечения балки;

L - длина балки;

K - коэффициент, зависящий от условий нагруженная;

A - сечение балки;

σ - модуль сдвига.

Из соотношения (15-17) следуют выражения деформации для случаев:

растяжение или сжатие

, (18)

изгиба

, (19)

кручения

28

, (20)

где: l₁ - длина плеча приложения силы, скручивающей балку.

Предположим, что на каждую балку действуют равные силы. Одна из них вызывает растяжение, а другая - изгиб. Приравнивая (18) и (19) и подставляя I = bh³ / 12 , при консольно закрепленном стержне K = 3 и при h = l найдем

ƒ_ρ= .(21)

При одних и тех же условиях нагрузки изгиб сопровождается значительно большей деформацией, чем растяжение или сжатие. При равенстве деформации материала, работающего на сжатие (растя­жение), расходуется в несколько раз меньше, чем материал, рабо­тающего на изгиб.

Кроме того, чем меньше масса несущей конструкции при сохранении ее прочностных параметров, тем меньшему воздействию динамических перегрузок она будет подвержена. Поэтому при конструировании несущих конструкций РЭС необходимо оценить возможность использования более легкого материала при сохранении условий прочности и жесткости.

Обозначим объем материала V = bhl, отношение массы материала к его объему как плотность .

После соответствующих преобразований имеем для растяжения

. (22)

29

После подстановки момента инерции I = имеем для:

изгиба

, (23)

и для кручения

, (24)

Из этих выражений следует, что F/E выражает физические свойства материала, а отношение l к h - размерные свой­ства конструкции. С точки зрения минимальной массы наивыгод­нейшим материалом, имеющим наименьшую деформацию, является та­кой, у которого отношение γ /E является наименьшим. При оценке материала обычно пользуются обратной величиной этих отно­шений E / γ, проводимых в соответствующих справочных пособиях /4/. Значения E/γ даны в приложении (табл. 3). Имеются раз­личные способы увеличения жесткости элементов конструкции РЭС.

Часто изгиб стремятся заменить растяжением-сжатием или производят блокирование деформации с помощью косых связей. Увеличение жесткости деталей плоской формы осуществимо с образованием на их поверхности ребер жесткости. Пример конструктивного образования которых, показан на рис. 6. Высота, форма и сечение ребер выбираются в зависимости от той жесткости, которую необходимо получить. На жесткость оребренной детали значительное влияние оказывает относительная высота ребра и относительная ширина ζ = .Условия работы ребер жесткости на сжатие и растяжения не одинаковы, они зависят от схемы нагрузив или напряжений на сжатие или растяжение.

30

Рис. 6. Ребра жескости

Момент инерции сечения и момент сопротивления детали с ребрами можно выразить в общей форме, если известны момент инерции I₀ и момент сопротивления W₀ основного исходного сечения

, (25)

, (26)

Обычно высота ребер в литых деталях составляет h=5h₀, а толщина - не более (0,6 - 0,8) h₀ . В деталях из тонколистового проката, высоту ребер выбирают из соображения прочности, т. к. толщина их определяется толщиной выбранного материала.

Оптимальную жесткость деталей можно также получить вводя для листовых деталей отбортовки, выдавки, ребра жестко­сти (рис. 7).

Материалы несущих конструкций РЭС необходимо выбирать с уче­том удельных прочности и жесткости или обобщенного коэффициента.

31

Удельная прочность равна σ_уд = σ₀₂ /γ , где σ₀₂ - условный предел текучести, представляющий собой напряжение, вызывающее в испытываемом образце остаточную деформацию 0,2 %; γ - плотность материала. Удельная жесткость E_уд =E/γ.

Рис. 7. Выдавки и отбортовки для пластинчатых конструкций

Обобщенный коэффициент представляет произведение прочности и жесткости K_об = σ_удЕ_уд = σ₀₂Е / ρ². Значения указанных показателей даны в приложении. При выборе материала деталей, работающих на прочность, необходимо пользоваться значениями σ_уд , работающими на жесткость – Е_уд . Поскольку Е_уд, для ряда материалов отли­чаются незначительно, при выборе материалов необходимо пользо­ваться обобщенным коэффициентом K_об /4/, который характери­зует способность материалов нести наиболее высокие нагрузки при наименьших деформациях и массе.