ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра радиоэлектронных устройств и систем

139-2012

Исследование моментов инерции и координат центров тяжести конструкций рэс, определение их жесткости и прогиба методические указания

к выполнению лабораторных работ № 3, 4 по курсу «Прикладная механика» для бакалавров по специальностям «Конструирование и технология радиоэлектронных средств» и «Приборостроение» очной и заочной форм обучения

Воронеж 2012

Составители: канд. физ.-мат. наук И.В. Андреев,

канд. техн. наук А.И. Андреев

УДК 621. 396 002 (031)

Исследование моментов инерции и координат центров тяжести конструкций РЭС , определение их жесткости и прогиба: методические указания к выполнению лабораторных работ № 3, 4 по курсу «Прикладная механика» для бакалавров по специальностям «Конструирование и технология радиоэлектронных средств» и «Приборостроение» очной и заочной форм обучения / ФГБОУВПО "Воронежский государственный технический университет"; сост. И.В. Андреев, А.И. Андреев. Воронеж, 2012. 42 с.

В методических указаниях рассматриваются вопросы определения координат центров тяжести, моментов инерции, исследуются прогибы балочных конструкций и вычисление их жесткости при различных способах закрепления.

Табл.4 Ил. 17 . Библиогр.: 6 назв.

Рецензент канд. физ. – мат. наук, доц. В.А. Кондусов

Ответственный за выпуск зав. кафедрой

д-р физ.- мат. наук, проф. Ю. С. Балашов

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

.

© ФГБОУВПО "Воронежский государственный

технический университет", 2012

Лабораторная работа № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ МСМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И КООРДИНАТ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ КОНСТРУКЦИЙ РЭС

I. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

1.1. Цель работы

Освоить экспериментальные методы измерений и уточнить теоре­тические расчеты по определению моментов инерции и координат центров тяжести конструкций РЭС. Изучить определение геометри­ческих характеристик сложных сечений конструкций РЭС и учет их при деформациях изгиба и кручения.

1.2. Общая характеристика работы

Основным содержанием практической части работы является измерение координат центров тяжести различных конструкций РЭС уравновешиванием их на треугольной опоре и определение моментов инерции с помощью низкочастотных крутильных маятников.

Для оп­ределения моментов инерции конструкций РЭС разработаны специ­альные автоматические лабораторные установки. Каждая установка включает в себя крутильный маятник, электронный блок автомати­ческого возбуждения механических резонансных крутильных колеба­ний, электронный частотомер и осциллограф.

При исследовании статического и динамического прогиба используется специальная установка, включающая электромеханический вибростенд.

В процессе работы необходимо соблюдать общие правила по технике безопасности при работе, с электроустановками с напряжением до 1000 В.

2. Домашние задания и методические указания по их выполнению

Задание №.1. Изучить методы определения координат центров тяжести конструкций радиоэлектронных средств (РЭС). В заготовку отчета занести недостающие виды координат центров тяжести прямоугольных конструкций РЭС.

Методические указания по выполнению первого задания.

При выполнении задания изучить материал /1, с. 78-82; 2, с. 158-163; 3, с. 73-76/. При проработке материала следует учитывать, что поло­жение центра тяжести элементов и блоков РЭС определяется кос­венными методами. Одним из способов уравновешивание блока РЭС на опоре. Блок устанавливается на круглый или тре­угольный стержень и уравновешивается. При этом центр тяжести находится непосредственно над стержнем в некоторой точке плос­кости, проходящей через стержень перпендикулярно опорной плос­кости. Затем прямоугольный блок поворачивается вокруг оси на 90 ° и опять уравновешивается. Пересечение этихдвух положений соответствует проекции центра тяжести на горизонтальную плос­кость (рис. I) и дает координатыХ_С , Y_C,, Z_C.

Рис. 1. Уравновешивание на опоре

Если затем блок повернуть на одну из его боковых граней

2

и повторить уравновешивание, то положение центра тяжести (Х_С,,Y_C, ,Z_C) будет определено однозначно. Второй способ определения центра тяжести состоит в уравновешивание блока на подвеске. Если блок РЭС подвесить на тросе, который прикрепляется к различным его точкам, то пересечение линий, образованных продолжениями троса, определяется положением центра тяжести (рис. 2). Для определения центра тяжести достаточно двух таких линий, но для проверки полез­но получить и третью линию.

Рис. 2. Схемы подвеса

Достроить недостающие положения при уравновешивании прямо­угольного блока на треугольной опоре и занести их в заготовку отчета (рис. 3).

Рис. 3. Определение недостающих координат

Задание № 2. Изучить метода экспериментального определения моментов инерции конструкций РЭС.

3

Методические указания по выполнению второго задания

При выполнении задания изучить геометрические характеристи­ки плоских сечений /2, с. 160-163; 4, с. 134-135/. Особое вни­мание следует обратить на экспериментальное определение момен­тов инерции. Для определения их наибольшее распространение по­лучили метода, основанные на свойствах физических маятников ка­чения и кручения. В этих методах момент инерции определяют по периоду малых колебаний. В методе маятниковых колебаний испыты­ваемый блок РЭС подвешивают на тросах так, чтобы его ось ОО', относительно которой требуется определить момент инерции, была горизонтальна и параллельна неподвижной оси 00* , относитель­но которой блок может совершать колебания под действием собст­венного веса без большого трения (рис. 4 а). Отклонив испыту­емый блок РЭС на небольшой угол 5 - 10 °, выводят его из состоя­ния равновесия и опускают без начальной скорости. Измерив время 40 -50 колебаний вычисляют период одного колебания

Т = (1)

где t - измеряемое время;

N - число колебаний.

а) б)

Рис.4. Методы маятниковых колебаний

4

Момент относительно оси подвеса находят по формуле

I₀ = (mgl/4π²)*T² (2)

и момент инерции относительно оси СС, приходящей через центр тяжести равен

I_C = ml² [()² - 1](3)

где l - длина маятника;

m - масса блока РЭС;

g - 9,810 м/с².

Точность метода зависит от точности измерения расстояния l и периода Т. Необходимая точность не будет достигнута, если l больше радиуса инерции _С около оси СС’, причем I_C = m_С². Если, выражение, стоящее в квадратных скобках для опреде­ления I_С будет очень мало. Таким образом, метод маятниковых колебаний чувствителен к малым ошибкам как в измерении Т, так и l. Основное требования метода заключается в том, что l должно быть выбрано по возможности малым, что практически не всегда удается с дать. В связи с этим переходят к другому методу, получившему название метода крутильных колебаний (рис. 4б). Верхний конец упругой проволоки (стержня) жестко закрепляют в неподвижной стойке, к нижнему концу жестко крепят испытуемый блок РЭС (несущую конструкцию). Для исключения бо­ковых колебаний необходимо, чтобы ось стержня была главной и центральной осью инерции всей системы. Закрутив проволоку на небольшой угол 3 - 5 °, сообщают блоку малые крутильные колеба­ния. Момент инерции относительно оси кручения определяется из выражения

I_kp = K_kp T² / 4 π² (4)

где K_kp =GI_p - крутильная жесткость стержня;

5

G - модуль сдвига материала стержня;

Iр = π d ⁴ / 32 - полярный момент инерции поперечного сечения стержня;

d - диаметр стержня.

Чтобы не определять величину K_kp можно применять, следу­ющий метод. Определив предварительно период крутильных колеба­ний блока и не меняя точки крепления, подвешивают к этому стержню другое тело, момент инерции которого I_Т известен и определяют его период Т_Т. Тогда момент инерции первого объек­та можно определить из выражения

I_kp = I_T (T/T_T)²(5)

Искомый момент можно определить и другим способом. После того, как определен период колебаний T блока, к нему симметрично прикрепляют две равные массы дополнительно, величина ко­торых m и расстояние от оси вращения r известны. Затем определяют период колебаний Т_r новой системы и момент инер­ции вычисляют по формуле

I_kp = 2 m r ² T ²/ (T_r ² - T ²) (6)

С другими экспериментальными методами можно ознакомиться в /I, 2/. В настоящей работе моменты инерции несущей конструк­ции РЭС, блоков, отдельных типовых элементов замены (ТЭЗ) оп­ределяются методом крутильных колебаний с использованием маятника, на котором устанавливают испытуемые объекты (рис. 5) отно­сительно координатных осей, проходящих через их центры тяжести.Для повышения точности измерений в лаборатории используются две установки: большой крутильный маятник (БКМ) для несущей кон­струкции РЭС и малый крутильный маятник (МКМ) для малогабарит­ных элементов к ТЭЗ. Для определения момента инерции конструк­ции РЭА необходимо первоначально измерить собственный период колебаний маятника, период колебаний маятника с телом простой формы, момент инерции которого известен. Затем, измеряют период колебаний

6

маятника о конструкцией РЭС. Конструкция РЭС должна устанавливаться на маятнике таким образом, чтобы ее центр тя­жести проходил через ось вращения колебательной системы.

Рис. 5. Установка для измерения моментов инерции (1 - крутильный маятник; 2 - электрическая лампочка; 3 - фоторезистор; 4 - индуктивная катушка; 5 - магнит; 6 - электронно-цифровой частотомер; 7 - электронный блок автоматического возбуждения резонансных колебаний; 8 – осциллограф)

На рис. 6 показаны схемы измерения несущие конструкции (блока РЭС) и малых блоков или ТЭЗов относительно оси X.

Рис. 6. Схемы измерений

7

Дополнить недостающие изображения конструкций для измере­ния периодов колебаний маятников относительно других координат­ных осей.

После проведения описанных выше Измерений можно определить моменты инерции несущей конструкции РЭС на большом маятнике

I_XБ = ,

I_YБ = , (7)

I_ZБ = ,

где I_ТБx, I_Тбу, I_ТБz - моменты инерции тела простой формы отно­сительно осей Х,Y,Z;

Т_ХБ, Т_УБ,_, T_ZБ, - периода колебаний большого маятника с несущей конструкцией РЭС относительно координатных осей X,Y, Z;

Т_БX, Т_БY,_, T_БZ - периоды колебаний большого маятника с телом простой формы относительно осей X, Y, Z ',

Т_ТБ - период свободных колебаний большого маятника;

I_XБ ,I_YБ , I_ZБ ,- экспериментальные значения моментов инерции несу­щей конструкции РЭС, установленной на большом маятнике.

Для ТЭЗ и малых элементов конструкции моменты инерции, из­меренные на малом крутильном маятнике, имеют формулы расчета аналогичные с точностью до замены индексов "Б" на индексы "М". Так, вместо Т_ТБ будет T_MБ - период свободных колебаний ма­лого маятника; Т_МХ , Т_МY , Т_МZ - периоды колебаний малого маятника с ТЭЗом, а Т_ХМ, Т_YМ, Т_ZМ - периоды колебаний

8

малого маятника с телом простой формы относительно осей X, Y, Z, заменят соот­ветственно ТХ, Т_YМ, Т_ZМ моменты инерции тел простой формы для малого маятника.

Задание № 3. Рассчитать моменты инерции двух тел простой формы.

Методические указания по выполнению третьего задания

Из формул (7) следует, что для определения моментов инерции конструкций РЭС необходимо знать момент инерции тела прос­той формы (I_TMX, I_TMY, I_TMZ) или (I_ТБХ, I_ТБУ, I_ТБZ). При выпол­нении лабораторных заданий применяют два стальных прямоугольных параллелепипеда. Для большого крутильного маятника используется тело с геометрическими размерами 0,3 х 0,16 х 0,019 м, а для малого - 0,195 х 0,064 х 0,024 м. Моменты инерции этих тел рас­считать по формулам, данным в приложении (табл. I).

Задание № 4. Изучить геометрические характеристики плоских сечений, в заготовку отчета занести основные формулы для опре­деления осевых и полярных моментов инерции, а также их моменты сопротивления.

Методические указания по выполнению четвертого задания

При выполнении задания изучить материал / 1, с. 78-80; 4, с. 135-136 /, При проработке материала следует учитывать, что в теории изгиба и кручения используются следующие геометрические характеристики плоских фигур: осевые момент инерции плоских фигур, представляющие собой интегральную сумму произведений элементарных площадей dА фигу­ры на квадрат расстояния их до соответствующих осей (рис. 7)

I_Y = ; I_Z = ;(8)

9

полярный момент инерции плоской фигуры, который определя­ется аналогично

I_ρ=;(9)

(ρ - расстояние элементарной площадки до начала координат).

Учитывая, что I²=X²+Z², имеем

I_ρ = I_Y + I_Z, (10)

центробежный момент инерции сечения I_YZ равный

I_YZ=(11)

осевые и полярные моменты сопротивления

W_Y = ; W_Z=;W_ρ=. (12)

(Z_max, Y_max, ρ_max - наибольшие расстояния точек сечения до осей Y,Z и начала координат).

Геометрические характеристики для прямоугольного сечения высотой h шириной b, а оси Y_t Z - являются главными центральными осями инерции. Моменты инерции равны

I_Y=bh³/12;I_Z=hb³/12. (13)

Моменты прямоугольного сечения балки вычисляют по формулам:

W_Y = =; W_Z = (14)

10

Рис. 7. Координаты инерции сечения

Глазными осями инерции сечения называют такие оси координат, относительно которых центральный момент инерции равен нулю, т. е. I_YZ = D. Обычно начало главных осей инерции совмещают с центром тяжести сечения. Такие оси называют главными центральными осями инерции сечения. Для круглого сечения радиусом r полярный момент инерции этого сечения равен

I=,(15)

а осевые моменты инерции круглого сечения равны

I_Y = I_Z = C₁5Iρ = .(16)

Осевой момент сопротивления сечения находится по формуле

W_Y = W_Z = =0,1d³ (17)

11

Полярный момент сопротивления сечения, используемый в рас­четах при деформации кручения, равен

W_ρ== 0.2d³ (18)

При определении геометрических характеристик сложных сече­ний используют аналитические зависимости между моментами инер­ции относительно параллельных осей. Пусть для плоской фигуры площадью А известны моменты инерции I_Y и I_Z относительно главных центральных осей Y и Z . Требуется определить мо­менты инерции этой фигуры относительно новых Y₁ , Z₁ , кото­рые параллельны главным центральным и расположены на расстояниях а и в (рис. 7). Пользуясь формулами (8), имеем

I_Y1 = ==

Эти интегралы имеют следующие значения

= u² A; =I_Y; = 0.

Так как представляет собой статический момент относительно оси Y, проходящей через его центр тяжести, то учитывая это, получаем:

I_Y1 = I _y +a²A, I _y = I _z + b ² A. (19)

Формулы (19) называют теоремой Штейнера, согласно которой

12

момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси и произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Задание № 5. Оформить заготовку отчета к лабораторным за­нятиям.

Методические указания по выполнению пятого задания.

Для выполнения задания необходимо подготовить дома заготов­ку отчета по всей работе. Заготовка отчета должна содержать но­мер, наименование, цель работы, содержание, все пункты домашних заданий и результаты их выполнения, все пункты лабораторных за­даний и свободные места для их выполнения.