Глава 1 Математическое программирование (поиск экстремума в нелинейных моделях)

Определение 0. Математическое программирование (МП) – раздел математики (теории оптимизации), в котором изучаются методы отыскания экстремума (max или min) функций, зависящих от нескольких переменных, на некотором множестве.

1.1. Формальная постановка задачи мп

а) Управляющие переменные – совокупность векторов с n компонентами (координатами): , то есть. (Внимание! При вычислениях векторы считаются векторами-столбцами, запись в строку используется для экономии бумаги.)

б) В качестве целевой функции выступает какая-либо функция многих переменных .

в) Допустимое множество X расположено в , любой элементназываетсядопустимым вектором, или допустимой точкой, или допустимым планом, или допустимым управлением.

Краткая (символическая) запись задачи МП:

. (1.1)

1.2. Необходимые определения и пояснения в задаче мп

Определение 1. Точка называетсяточкой глобального минимума (максимума) функции на, если

для всех (1.2)

Определение 2.Точка называетсяточкой локального минимума (максимума)функциина, если найдется такая константатакая, что

удовлетворяющих условию (1.3)

Определение 3.Точка называетсяточкой строгого минимума (максимума)в локальном или глобальном смысле, если соответствующие неравенства в (1.2), (1.3) выполняются как строгие (при).

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения, обычно применяемые для записи того факта, что – точка минимумана:

Если пишут то имеют ввиду поиск безусловного минимума функции(для максимума обозначения аналогичные).

Будем считать синонимамивыражения: точка экстремума, решение, оптимальное решение, оптимальный план, оптимальное управление,.

Замечание. Задача наminлегко превращается в задачу наmax(и наоборот):

Технология решениязадачи МП:

• постановка задачи;

• приведение её к удобному для решения виду;

• поиск подозрительных на решение (критических) точек (векторов);

• проверка условий оптимальности (т.е. применение соответствующих теорем).

Замечание. Случай, когда целевая функциялинейна

(т.е. ) исформировано линейными условиями, будем рассматривать особо. Поэтому до начала главы "Линейное программирование" будем рассчитывать на нелинейность целевой функции.

Задание.Законспектировать в тетради с лекциями три примера задачи МП, включая транспортную задачу (см. рекомендованные учебники и учебные пособия).

1.3. Поиск безусловного экстремума

Рассмотрим более простую по отношению к (1.1) задачу (безусловного экстремума)

(1.4)

Обозначим градиент целевой функции символом "набла":

а матрицу вторых производных – символом "набла в квадрате":

Для поиска решения задачи (1.4) будем пользоваться следующими теоремами (первая из них применяется для обнаружения подозрительных на экстремум точек, а вторая – для определения характера экстремальности найденных критических точек).

Теорема 1 (необходимое условие первого порядка экстремальности ). Пусть функцияnпеременныхдифференцируема в точкеТогда, если– локальное решение задачи (1.4), то

(1.5)

Запись означает, что целевая функция вычисляется в точке. Решения системы уравнений (1.5) называютсякритическими (стационарными, подозрительными на экстремум) точками.

Теорема 2 (условия второго порядка экстремальности ). Для того, чтобы дважды дифференцируемая функцияnпеременныхимела встационарной точкебезусловный локальныйmin(max),необходимо, чтобы матрица ее вторых производныхбыла неотрицательно (неположительно) определенной, идостаточно, чтобы она была положительно (отрицательно) определенной.

Замечание. Теоремы 1 и 2 справедливы и для задачи условной оптимизации (1.1), если решениележит внутри множества.

При исследовании на знакоопределенность матриц вторых производных целесообразно применять известный из алгебры критерий Сильвестра.

Определение 4.Главным угловым миноромk-го порядка некоторой квадратной матрицы называется определитель матрицы, составленной из первыхkстрок и первыхkстолбцов исходной матрицы.

Критерий Сильвестра. Квадратная матрица является:

а) положительно определеннойтогда и только тогда, когда все ее главные угловые миноры положительны;

б) отрицательно определенной, когда все ее главные угловые миноры нечетного порядка отрицательны, а четного – положительны;

в) неотрицательно определеннойтогда и только тогда, когда все миноры, полученные из исходной матрицы вычеркиванием строк и столбцов с одинаковыми номерами, неотрицательны;

г) неположительно определенной, когда все миноры, полученные из исходной матрицы вычеркиванием строк и столбцов с одинаковыми номерами, нечетного порядка – неположительны, а четного – неотрицательны.

Таким образом, будем использовать следующую схему поиска безусловных экстремумов функций многих переменных:

• составляется и решается система алгебраических уравнений (1.5) – ищутся критические точки;

• в критических точках исследуется на знакоопределенность матрица вторых производных: те точки, в которых матрица положительно определена, являются точками строгого локального минимума; стационарные точки, в которых матрица отрицательно определена, – точками строгого локального максимума;

• анализируются критические точки, в которых матрица вторых производных не является строго знакоопределенной. Если матрица неотрицательно (неположительно) определена, то соответствующая точка подозрительна на локальный минимум (максимум). Иногда, непосредственно изучая поведение функции в окрестности подозрительной точки, удается выяснить, является или нет она экстремальной. Наконец, если в критической точке матрица вторых производных вообще не является знакоопределенной, то такая точка заведомо не может быть экстремальной.

Заметим, что исследование найденных точек локального экстремума на глобальный экстремум весьма затруднительно. Мы будем ограничиваться проверкой частного случая, когда матрица вторых производных неотрицательно (неположительно) определена на всем пространстве (в простейшем случае компоненты матрицы просто не зависят отx), – тогда все критические точки функции являются точками глобального минимума (максимума). В остальных случаях будем делать вывод: глобальный характер экстремума установить не удалось, требуется дополнительное исследование.

Пример 1. Исследовать на экстремум

Составляем систему уравнений, приравняв градиент целевой функции нулю:

Решив данную систему, найдем критические точки: Матрица вторых производных в первой из этих точекне является знакоопределенной, т.к. главный угловой минор 2-го порядка отрицателен. Следовательно, точказаведомо не является экстремальной. Во второй критической точкеявляется положительно определенной, а значит– точка строгого локального минимума. Можно ли установить глобальный характер найденного минимума? Матрица вторых производных не является знакоопределенной на всем пространстве, поэтому мы не можем сразу ответить на данный вопрос. Зато мы легко замечаем, что, например, в точке (0, –1) целевая функция равна –4, что меньше значения функции в точке локального минимума –1/108. Значит, рассматриваемая точка не может быть точкой глобального минимума.

Ответ:

Пример 2. Исследуем на экстремум

Приравняв градиент целевой функции нулю, решим систему уравнений – найдем три критические точки

Рассмотрим первую подозрительную на экстремум точку. неположительно определена, а значит, – точка (0,0) подозрительна на локальный максимум, требуется дополнительное исследование.

Для второй и третьей критических точек вычисления совпадают:

Данная матрица положительно определена, поэтому точки (–1,–1) и (1,1) являются точками строгого локального минимума. Для установления глобальности найденного минимума требуется дополнительное исследование.

Ответ. (0,0) подозрительна на локальный максимум, требуется дополнительное исследование.

Для установления глобальности минимума требуется дополнительное исследование.

Заметим, что во втором примере мы столкнулись с необходимостью применения более глубоких математических знаний, чем анонсировано в лекции. Обойти эту проблему и провести исследование до конца можно (а так обычно и делают), если заметить, что исследуемая функция зависит только от двух переменных, а значит – можно построить либо ее график, либо семейство линий уровня и по ним провести пресловутое "дополнительное исследование". Это легко сделать при помощи персонального компьютера.

Задание. Восстановите все необходимые вычисления в примерах 1 и 2. Постройте графики целевых функций (поверхностей) при помощи ПК и убедитесь в том, что:

а) найденный ответ в примере 1 верный;

б) первая критическая точка в примере 2 не является экстремальной; точки локального минимума в примере 2 являются точками глобального минимума.

Исследуйте самостоятельно на безусловный экстремум функции