Темы докладов

1. История экономико-математической идеи;

2. Экономико-математические методы и модели в трудах зарубежных исследователей;

3. Экономико-математические методы и модели в трудах отечественных экономистов;

4. Проблема метода в политических исследованиях;

5. Метод множителей Лагранжа: геометрический и экономический смысл множителей Лагранжа;

6. Решение задач линейного программирования в MS Excel (с постоптимальным анализом);

7. Задача о рюкзаке (бомбардировщике), решение ее в ПЭР;

8. Задача о женихах и невестах (назначениях), решение ее в ПЭР ;

9. Целочисленные задачи ЛП: метод ветвей и границ;

10. Нейросетевые технологии;

11. Генетические алгоритмы;

12. Игры с природой;

13. Многошаговые игры;

14. Реализация Симплекс-метода в случае вырожденного базиса (антициклин);

15. Сетевой анализ проектов (метод СРМ – метод критического пути);

16. Сетевой анализ проектов (метод PERT – метод оценки и обзора программы);

17. Модели управления запасами;

18. Модели систем массового обслуживания;

19. Введение в теорию принятия решений (дерево решений);

20. Статическая модель межотраслевого баланса;

21. Динамическая модель межотраслевого баланса;

22. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции;

23. Модели общего экономического равновесия;

24. Модель Эрроу-Гурвица;

25. Модель развития экономики (модель Харрода);

26. Модель Солоу;

27. Многокритериальные задачи;

28. Оптимальное смешение (задача о винзаводе);

29. Оптимальный раскрой (минимальный расход материалов);

30. Оптимальный раскрой (минимальные отходы);

31. Оптимальный раскрой (с учетом комплектации);

32. Планирование финансов (минимизация целевого фонда);

33. Планирование финансов (максимизация дохода);

34. Транспортная задача (задача агрегированного планирования);

35. Модели финансового менеджмента: модели размещения и развития производства;

36. Модели финансового менеджмента: оптимизация курса валюты в опционе;

37. Модели финансового менеджмента: инвестирование в валюту;

38. Анализ практических ситуаций: компания Red Brand Canners;

39. Анализ практических ситуаций: обмен валют в компании HiTech;

40. Анализ практических ситуаций: компания Saw Mill;

41. Анализ практических ситуаций: компания Kiwi Computer;

42. Анализ практических ситуаций: компания Valley Chassis;

43. Анализ практических ситуаций: Ферма Ельцина;

44. Анализ практических ситуаций: компания Ebel Mining;

45. Анализ практических ситуаций: компания Bumles;

46. Анализ практических ситуаций: компания Lady Lynn Cosmetics – назначение торговых представителей;

47. Анализ практических ситуаций: компания Abacus SFX;

48. Анализ практических ситуаций: компания Global Oil;

49. Анализ практических ситуаций: компания Shumway, Horch and Sager;

50. Анализ практических ситуаций: компания Australian Motors.

Введение Математические модели экономических систем

Дисциплина "Методы принятия управленческих решений", к изучению которой мы приступаем, представляет собой знакомство с наиболее популярными методами поиска эффективных управленческих решений в экономике при помощиматематических моделей. В современной научной литературе интересующие нас проблемы относятся к "науке управления" –Management Science(MS), развивающей методы исследования операций (Operation Research–OR).

Курс можно условно разбить на семь частей:

• краткий обзор методов поиска экстремума в нелинейных моделях;

• достаточно подробное изучение линейных моделей, включая применениетеории двойственностик экономическому анализу;

• обзор некоторых специальных задач линейного программирования – транспортныезадачи,целочисленноелинейное программирование;

• знакомство с теоретико-игровыми моделями(матричные игры, кооперативные игры, игры с природой);

• обзор методов сетевой оптимизации;

• знакомство с анализом систем массового обслуживания;

• знакомство с моделями динамического программирования и задачами оптимального управления.

Главным предметом изучения на протяжении всего курса будут математические модели. Именно создание математической модели изучаемой экономической системы необходимо при использовании математических методов для решения экономических или управленческих задач.

Процесс формирования любой модели весьма сложен. На первом этапе специалист создает "вербальную модель" – словесное описание изучаемой ситуации. После так называемой "формализации" получается серия математических моделей, отличающихся как подробностью описания ситуации, так и набором привлекаемых математических понятий. Из всей совокупности моделей отбираются наиболее доступные для анализа – уже известные, т.е. некие "стандартные", "классические". После "идентификации" – экспериментальной проверки адекватности модели и описываемой ею ситуации, – выбирается наиболее подходящая базовая модель. И уже в этой базовой модели специалист ставит нужные ему задачи – либо оптимизационные (ищется максимум или минимум некоторой функции при заданных условиях), либо имитационные (просто производятся расчеты при помощи соотношений модели).

Пример. Рассмотрим в качестве примера производство пушнины на звероферме – построим простенькую математическую модель. Прежде всего, четко словесно сформулируем позиции, которые будем учитывать при моделировании.

При выращивании лис и песцов используется 3 вида кормов, причем суточные нормы кормления будем считать известными и постоянными для всех животных, независимо от возраста и состояния здоровья (т.е. используем некие осредненные показатели). Запас кормов, прибыль от продажи выделанной шкурки песца или лисы будем также считать известными. И еще предположения: считаем, что щенков для откорма у нас любое необходимое нам количество и все произведенные шкурки будут проданы.

Формализация: обозначим количество откармливаемых лис через х, а песцов – через у. Тогда, если А, В, С – известные объемы запасов кормов, а, b, c – нормы кормления лисы (для каждого корма), l, m, n – нормы кормления песца, а p и q – прибыли от продажи одной шкурки лисы или песца соответственно, то деятельность зверофермы можно описать следующими математическими соотношениями: прибыль будет подсчитываться по формуле

f(x,y) = px + qy,

а условия, лимитирующие поголовье зверья – ограниченный запас корма, – запишутся как неравенства

ax + ly  A; bx + my  B; cx + ny  C.

Составленные 4 математические соотношения как раз и являются простейшей математической моделью изучаемого производства. В ней можно поставить оптимизационную задачу: найти такие величины x и y, чтобы прибыль была наибольшей при условии выполнения ограничений. А можно проводить и имитационные расчеты, например, выяснить, хватит ли корма для выращивания 100 лис и 200 песцов одновременно и т.п.

Задание: попробуйте перечислить недостатки данной простейшей модели; ответьте на вопрос "Почему модель простейшая, как можно ее усложнить?".

Любая экономическая система представляет собой чрезвычайно сложную систему, она характеризуется колоссальным числом параметров, которые могут ещё и меняться со временем; сложность системы усугубляется тем, что важной её составляющей являются люди, принимающие те или иные решения с учётом неких своих целей. Помимо этого, экономическая система подвергается бесчисленному множеству случайных, трудно прогнозируемых возмущений.

В то же время любая экономико-математическая модель должна быть простой, обозримой: её нужно уметь записывать, добыть все необходимые числа, суметь произвести необходимые расчёты. Известный математик Беллман так охарактеризовал проблему: "Если мы попытаемся включить в нашу математическую модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях, содержащих неизвестные параметры и неизвестные функции. Определение этих функций приведет к еще более сложным уравнениям с еще большим числом неизвестных параметров и функций и т.д. Если же, наоборот, оробев от столь мрачных перспектив, построим слишком упрощенную модель, то обнаружим, что она не определяет последовательность действий так, чтобы удовлетворять нашим требованиям. Следовательно, Ученый, подобно Паломнику, должен идти прямой и узкой тропой между Западнями Переупрощения и Болотом Переусложнения".

Таким образом, математическая модель всегда беднее реальной экономической системы; она всегда описывает эту систему лишь приблизительно, выделяя одни свойства и пренебрегая другими. Для компенсации указанного недостатка в математической экономике разрабатывается несколько типов моделей, каждый из которых призван отразить какую-то одну определённую сторону экономической действительности с тем, чтобы при решении конкретной экономической задачи можно было подобрать такую модель, которая лучше всего к ней подходит. Остановимся на этом подробнее.

По характеру используемых математических соотношений модели делятся на:

• линейные (все соотношения – линейны) и нелинейные (все или часть зависимостей нелинейны);

• статистические или стохастические (учитывают случайный характер экономических процессов) и детерменированные (пренебрегается случайный характер реальных процессов и учитываются усредненные значения всех параметров модели);

• динамические (рассматривают развитие системы во времени) и статические (рассматривают лишь один текущий момент или период времени);

• оптимизационные (выбор решений обусловлен соображениями экстремизации некоторого экономического критерия) и неоптимизационные или имитационные (заранее фиксируются многие параметры, затем вычисляются оставшиеся).

По детализации описания экономической системы (по степени агрегированности) модели различаются как сильно агрегированные, например, модель национальной экономики с 10-15 "отраслями", и мало агрегированные – здесь уже в модели национальной экономики будет несколько сотен отраслей.

Основным предметом нашего исследования будут линейные и нелинейные статические и динамические детерменированные оптимизационные модели. Такие модели позволяют решать задачи принятия эффективных (или оптимальных) экономических решений.

Рассмотрим общую схему составления моделей задач принятия решений:

а) выделяются параметры, которые описывают процесс принятия решения. Эти параметры – переменные величины, задать конкретные (числовые) их значения – значит принять решение;

б) на основании предварительного анализа моделируемого объекта чётко формулируется цель управления. Как правило, целевая установка представляется в виде функции, зависящей от управляющих параметров. Называют её целевой функцией задачи или критерием качества управления. По смыслу задачи целевая функция максимизируется или минимизируется;

в) выбор управляющих параметров (переменных) не произволен – он лимитируется соотношениями модели, которые должны выполняться. Формируя эти соотношения (уравнения, неравенства), описывают множество допустимых значений переменных. Соотношения обычно называют ограничениями модели.

Управлять математической моделью – значит решать оптимизационную задачу:

среди множества допустимых управляющих переменных (т.е. удовлетворяющих ограничениям) найти оптимальные, т.е. доставляющие критерию качества (целевой функции) экстремальное значение – максимум или минимум.

Методы решения оптимизационных задач в статических детерменированных моделях изучаются в рамках так называемого "математического программирования" – теории математических методов определения оптимальных планов или программ. Среди экономистов наиболее популярны линейные задачи математического программирования, в связи с чем соответствующий раздел оптимизации получил название "Линейное программирование". Мы будем следовать данной традиции, а термин "математическое программирование" будем использовать при изучении нелинейных моделей.

При разработке данного лекционного курса автор активно использовал материалы учебных и методических пособий профессоров В.А.Дыхты, В.А.Срочко, А.И.Тятюшкина, доцентов А.И.Беникова, А.В.Аргучинцева, Н.В.Тарасенко, В.И.Кустовой. Учебный материал излагается достаточно подробно, сопровождается большим количеством примеров и заданий, для решения которых дополнительно к изучаемым методам рекомендуется применять специализированное программное обеспечение: программы "Пакет экономических расчетов", MS Excel и MathCAD.