attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 9 Пар 7 Опер с обобщ функ

Элементарная лемма 6.3 говорит, что обобщённые функции из

D n

можно складывать и умножать на числа. В этом параграфе изучаются

некоторые другие операции с обобщёнными функциями.

Определение 7.1. Будем говорить, что в обобщённой функции

f D ( n )

сделана линейная невырожденная замена переменных x Ay b,

x, y n , если

задана новая обобщённая функция f ( Ay b) D ( n ) правилом

1

f Ay b , ( y) f (x),

A 1(x b) .

(64)

det A

Рассмотрим частные случаи.

А) b = 0, A – ортогональная матрица, то есть A 1 AT . Тогда

f Ay , ( y) f (x), AT (x) .

Б) Отражение: f y , ( y) f (x), ( x) .

В) Подобие: f k y , ( y)

1

f (x),

x

.

k

n

k

Пример 7.2.

1

: D(

1)

,

x

1

, (x) V.p. (x) dx lim

( x) dx

( x) dx

(65)

x

x

0

x

x

(x) dx – существует. Заметим,

Покажем, что главное значение –

V.p.

x

что supp a, a для достаточно большого a > 0. По теореме Лагранжа, для

(x) , где

(x) a,a . С учётом

всех x a, a будет (x) (0) x

a

(0)

a

a

этого (65) lim

dx

( ( x))dx

0

( ( x))dx . Последний

0

x

a

a

a

интеграл существует, так как (x) – измеримая ограниченная функция.

Далее, линейность отображения

1

очевидна. Докажем его

x

D(

)

непрерывность в смысле (62). Пусть n 0 . Значит, supp n b,b

n

b

1

при всех n, и

max

0 . Поэтому x , n (x)

( ( x))dx 0 ,

n

n

b,b

n

b

n

что и означает выполнение свойства (62).

Покажем ещё, что функция

1

сингулярна. Предположим противное:

x

найдётся f Lloc

такая, что при всех D( ) выполнено

1

, (x)

lim

1 x ( x)dx f ( x) ( x)dx . Следовательно,

x

0

\( , )

если supp

\ 1n , 1n , то 1 x (x)dx f (x) ( x)dx , или

1 x f (x) (x)dx 0 . То есть, 1 x f (x), (x) 0 для любого

D(

\ 1n ,

1n ) . По теореме дю Буа-Реймона, f (x) 1 x почти везде на

множестве

\

1n , 1n . Так как n произвольно, то, добавляя ещё точку 0,

заключаем, что

f (x) 1 x

почти везде на

. Но тогда f Lloc

.

Противоречие.

■

Вернёмся к изучению операций с обобщёнными функциями.

Определение 7.3. Пусть G – область в

n . Функция a x

называется

мультипликатором на S

n на D G , если a x x S

n для любой

функции S

n . (Соответственно, если a x x D G для любой

функции D G ). Множество всех мультипликаторов на S

n (на D(G))

обозначим M(S) (соответственно, M(D)).

Очевидно следующее

Предложение 7.4. (а)

BC n M (S) C n ;

(б)

M (D) C (G) .

Определение 7.5. Произведение обобщённой функции f (из S

n или из

a(x) f (x), (x) f (x), a(x) (x) .

(66)

Пример 7.6. (а) x (x) 0 ;

(б) x

1

1.

x

Следующие равенства показывают, что умножение обобщённых функций не

может быть ассоциативным: 0 0

1

(x) x

1

(x) x

1

(x) .

■

x

x

x

Пример 7.8. Покажем, что M (S) C

. Рассмотрим бесконечно

дифференцируемую функцию a x ex2 . Мы знаем, что x e x2 S

.

Тогда a x x 1, но 1 S

. Следовательно, a x ex2 не является

мультипликатором на S

. Значит, M (S) C

.

Предложение 7.9. Пусть функция a x бесконечно дифференцируема и

для каждого мультииндекса существует число m( ) такое, что

a( ) x

C 1

x

m( ) при всех x n . Тогда a x M (S) .

Доказательство. Проверим, что a(x) (x) S n , если x S

n .

a x (x) ( ) равна сумме некоторого числа k( ) слагаемых вида

a( ) x ( ) (x) , причём, по условию,

a( ) x

C 1

x

m( ) . Кроме того,

можно так выбрать многочлены P x , что будут справедливы неравенства

C 1

x

m( )

P

x . В итоге, если P x – произвольный многочлен, –

мультииндекс,

то

P(x) a(x) x ( )

не превышает конечной суммы

. Но ( )

x S

слагаемых вида

P (x) ( ) (x)

n

, поэтому существуют числа

A( , ) > 0

такие, что если

x

A( , ) , то

P (x) ( ) (x)

/ k( ) . Значит, взяв

x ( )

A .

P(x) a(x)

A max

A( , ) , получим, что

при

x

■

,

Предложение 7.10. Пусть a x – как в предложении 7.9. Тогда

преобразование x

a x x − линейный непрерывный оператор из

S

n в S n .

Доказательство очевидно.

■

4)

Почему, всё-таки, f (x) 1 x почти везде на ?

5)

Что такое BC n ?

m( )

6) Почему C 1

x

P

x , где P

x – многочлен?