attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 8 Пар 6 Обобщённые функции

Определение 6.1. Пусть G

n – область. Линейное отображение

f : D(G)

назовём обобщённой функцией (или распределением) из D (G) ,

D(G)

f n

f ( ) .

если

n

(61)

n

n

Обозначение. Далее везде пишем f , вместо f ( ) .

Лемма 6.2. Свойство (61) равносильно тому, что

D(G)

f n

0 .

n 0

(62)

n

n

Доказательство. Ясно, что (61) (62). Обратно, если

n

D(G)

, то

n

пусть n n . По (62)

f n 0

. Значит, f n

f ( ) . ■

n

n

Обозначение. Множество всех линейных отображений (функционалов)

f : D(G)

со свойством (61) (или (62)) обозначается D (G) .

Лемма 6.3. D (G) – векторное пространство.

Доказательство – упражнение.

■

Определение 6.4. Функция f

: n

называется локально

интегрируемой в области G

n (пишут f Lloc G ), если для любого

компакта K G существует интеграл

f (x)

dx .

K

Теорема 6.5. Пусть

f Lloc

n . Тогда отображение

fr : D( n ) ,

заданное правилом

fr , f (x) (x)dx

(63)

n

является обобщённой функцией.

Доказательство. Линейность fr очевидна. Докажем свойство (62). Пусть

D(G)

. Из определения 5.12

при = 0 следует, что max

n (x)

0 , где

n 0

n

x K

n

компакт K содержит носители всех функций n. Поэтому,

fr , n

f (x) n (x)dx

f (x)

n (x)

dx max

n (x)

f (x)

dx 0 .■

n

K

x K

K

n

Определение 6.6. Пусть

f Lloc n . Тогда обобщённая функция,

очередь, последует из равенства

f (x)

dx 0 . Докажем его.

f (x)

dx H (x) sign f (x) f (x)dx

(*)

H

H

потому интегрируемая функция. Итак, H sign f L1(H ) . По теореме 5.10, к

функции H sign f сходится в пространстве L1(H) некоторая

последовательность n n D(H ) . Для любого номера k

H sign f k H sign f k .

Поэтому, интеграл (*) равен сумме двух интегралов

f (x) k (x)dx H (x) sign f (x) k (x) f (x)dx , (**)

H

H

L1(H )

,

H sign f k 0

H sign f k 0

k

k

п.в.

. Кроме того, не

поскольку мера Лебега (H) < , H sign f k 0

k

Итак,

f (x)

dx 0 , что завершает доказательство.

■

H

Справка. Дю Буа-Реймон Пауль, 1831 – 1889, Германия.

Определение 6.8. Скажем, что обобщённая функция f D (G) равна

нулю в области G

n , если всегда f , 0 , когда supp G .

Теорема 6.9. Пусть G :i I – семейство областей в n ,

G G :i I .

i

i

Если

n

) равна 0 во всех областях Gi, то f равна 0 и в G.

f D (

Доказательство. Возьмём произвольную функцию D(

n ) с носителем

supp G . Значит, Gi :i I – открытое покрытие компакта supp , и из него

можно извлечь конечное подпокрытие Gi1 ,

Gim . Далее, по теореме 5.6

найдутся ,

D(

n )

с носителями supp

G

, такие, что при всех

1

m

k

i

k

x supp выполнено 1(x)

m (x) 1. Поэтому при x supp имеем

(x) (x) 1 (x) 1(x)

( x) m( x) , причём supp k Gi . Значит,

f , f , 1

m f , 1

k

f , 1 0 .

■

Определение 6.10. Носителем обобщённой функции f D (

n ) назовём

множество supp f n \

G: f равно 0 в G

.

6.13. Пусть S – кусочно гладкая поверхность в

n , : S

–

измеримая, интегрируемая функция. Простой слой

: D( n )

задаётся

Проверим, что выполнено свойство (62). Пусть n

D(G)

. Из

0

n

определения 5.12 при = 0 следует, что max

n (x)

0 , где компакт K

x K

n

содержит носители всех функций n. Поэтому,

S

,

n

(x)

(x)

n

(x)

dS max

n

(x)

(x)

dS 0 .

n

n

S K

S K