attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 35 Пар 26 ЗАКЛЮЧ

§26 Заключение

П.1 Обзор курса

Оглянемся на пройденный курс.

Мы начали с рассмотрения математических моделей поперечных колебаний струны, распространения тепла, а также стационарных (то есть не зависящих от времени) вариантов этих явлений. Мы увидели, что моделями оказываются краевые задачи для линейных уравнений с частными производными второго порядка: для волнового уравнения, для уравнения теплопроводности и для уравнения Пуассона.

Рассматривая в §2 классификацию квазилинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка, мы установили (теоремы 2.3, 2.5), что, подобно квадратичным формам, выделяются три типа (гиперболический, параболический, эллиптический) таких уравнений. Замечательно, что рассмотренные модели естественных процессов доставляют по одному примеру уравнений каждого

типа – соответственно волновое уравнение utt a2 u f , уравнение теплопроводности ut a2 u f , и уравнение Пуассона u f .

Волновое уравнение с единственной координатой можно проинтегрировать (получаем u(t, x) C(x at) D(x at) ). Это обстоятельство лежит в осно-

ве метода Даламбера для решения ряда краевых задач: функции C и D подбираются из краевых условий.

Но в большинстве случаев уравнения в частных производных не интегрируются в элементарных функциях. Тогда решение краевой задачи часто может быть получено методом разделения переменных (он же метод Фурье). Действенность метода Фурье объясняется свойствами собственных функций задачи Штурма – Лиувилля (теорема 4.9 и дальнейший материал §4, особенно следствие 4.14). Символично, что в самом конце нашего курса мы установили, что такими же свойствами обладают и собственные функции оператора Лапласа (теорема 25.2, сравните!).

Для развития дальнейших методов изучения и решения краевых задач математической физики мы вводим достаточно обширный и сложный аппарат обобщѐнных функций (§§5–13). Как представляется, это связано с тем, что дифференцирование в смысле обобщѐнных функций выполнимо гораздо чаще, чем в классическом смысле (см. примеры 9.2, 9.6, теорему 9.7).

Обобщѐнные функции – это линейные непрерывные функционалы на

пространствах D(G) или S( n ) так называемых основных, или пробных функций. Обычные операции с основными функциями переносятся на обобщѐнные. Наиболее важны в нашем курсе дифференцирование (§9), свѐртка (§11), интегральные преобразования (§§12, 13). Рассмотрение дифференциальных операторов математической физики (волновой оператор, оператор теплопроводности,

оператор Лапласа) в обобщѐнном смысле позволяет обосновать новый метод решения краевых задач – метод потенциалов.

Кратко, схема метода потенциалов состоит в следующем. Операция свѐртки обобщѐнных функций имеет нейтральный элемент – функцию Дирака(x) (§11, свойство в)). Обобщѐнная функция, которую тот или иной дифференциальный оператор переводит в функцию Дирака, называется фундаментальным решением этого дифференциального оператора. Отсюда следует (теорема 14.7), что решение обобщѐнного дифференциального уравнения равно свѐртке фундаментального решения соответствующего дифференциального оператора

исвободного члена уравнения. Такие свѐртки называются потенциалами.

Спомощью интегрального преобразования Фурье в §§15, 16 мы получили явные формулы фундаментальных решений для вышеупомянутых дифференциальных операторов. В §18 получены формулы и исследованы свойства волновых и тепловых потенциалов.

Завершающая часть курса сосредоточена вокруг краевых задач для уравнения Лапласа (задачи Дирихле и Неймана). В §24 доказывается существование решения задачи Дирихле в пространстве обобщѐнных функций Соболева (теоремы 24.3 и 24.5). Ранее, в §21, среди прочего, установлена единственность решения задачи Дирихле и его непрерывная зависимость от граничного условия (теорема 21.2).

П.2 О корректности краевых задач

Результаты §18 означают, что обобщѐнные задачи Коши для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности являются корректно поставленными (теоремы 18.19, 18.20). При этом краевая задача называется корректно поставленной, если она имеет решение, единственное в достаточно широком пространстве функций, и непрерывно зависящее от краевых условий задачи.

Совокупность результатов §21 и §24 означает, что и задача Дирихле для уравнения Лапласа (и Пуассона) является корректно поставленной.

Однако, не все краевые задачи таковы. Нижеследующий пример показывает это.

Пример Адамара. Рассмотрим задачу Коши

k

k . С другой стороны, нетрудно проверить, что функция uk t, x k12 sin kx shkt

является решением задачи (186) и uk t, x не сходится к нулю, если x n .

Таким, образом, задача (186) не является корректно поставленной. (Адамар Жак Соломон, 1865–1963, Франция, математика, механика)

П.3 Об уравнениях Навье – Стокса

В 2000-м году математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) обнародовал список из семи важнейших, по мнению ведущих экспертов, математических проблем, решение которых оказало бы наибольшее влияние на науку в целом. Например, в числе этих проблем была проблема Пуанкаре, решѐнная вскоре нашим соотечественником Григорием Перельманом.

Под третьим номером в этом списке значится не решѐнная поныне проблема разрешимости уравнений Навье – Стокса, описывающих движение несжимаемой вязкой жидкости в трѐхмерной области.

В двумерном случае решение получено О.А. Ладыженской в статье «Решение «в целом» краевой задачи Навье – Стокса в случае двух пространственных переменных» (ДАН СССР. – 1958. – Т. 123, № 3. – С. 427–429).

Вот формулировка этой задачи:

Пусть G 3 – область, a > 0, (t, x) (0, a) G . В области найти скорость u u(t, x) u1(t, x),u2 (t, x),u3(t, x), и давление p = p(t,x) несжимаемой вязкой жидкости, удовлетворяющие системе уравнений

(где f = f(t,x) – плотность внешних воздействий) при нулевых начальных условиях и при граничных условиях, зависящих от формы области.

При этом разрешимость понимается в классе таких функций, что все члены уравнений (*) принадлежат L2( ).