attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 33 Пар 24 Теор СУЩ Дирихле

u f

x

, x G,

(180)

u

0.

G

является решением

Теорема 24.1. Пусть функция u x C2 G C G

задачи (180). Тогда (см. обозначения §22)

u,

f ,

0

(181)

u

x

x

dx

f

x

x

dx .

(*)

G

G

Воспользуемся формулой Грина (Г1, см. §19 ) и учтем, что x 0

на G .

u

x

x

dx

n

u

dx .

(**)

xk

xk

G

G k 1

f

x

x

dx

n

u

dx ,

xk xk

G

G k 1

которое можно переписать в виде (181)

f ,

u, .

■

для любой функции (x) H1

уравнению

u,

f ,

0

G

.

Теорема 24.3. Обобщѐнное решение задачи Дирихле (180) существует и

единственно.

Доказательство. Определим функционал F : H1 G

правилом

F f , .

(единственный) элемент u(x) H1 G

такой, что F ,u . Так как мы

,u

рассматриваем вещественное гильбертово пространство, то

u, . Так

f ,

f ,

0 , т.е. формулу (181).

как F

, получаем

u,

■

Рассмотрим теперь задачу

u

x

f

x

,

x G,

(182)

u

w x .

G

Вообще говоря, функция w x

не всегда имеет продолжение до некото-

рой функции x , заданной на всей обрасти G

и принадлежащей классу

H1 G . Мы исключим из рассмотрения эти экзотические случаи и обратимся к

следующей формулировке.

Определение 24.4. Функция u x H1 G называется обобщённым ре-

шением неоднородной задачи Дирихле, если

0

H1

u,

f ,

0,

G

,

(183)

0

v(x) u x x H1 G .

(184)

Равенство (183) можно переписать в виде

0

H1

v,

,

f ,

G

.

(185)

Теорема 24.5. Обобщенное решение неоднородной задачи Дирихле су-

ществует и единственно.

Доказательство. Рассмотрим линейный функционал F : H1 G ,

F

,

f ,

0

найдѐтся единственное v x H1 G такое, что v, F для всех

0

x H1 G .

■