attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 32 Пар 23 СЛЕД

x c

2

1

2a

2 .

(*)

1

L2 G

1

Подставим k l вместо в последнее неравенство:

x c

2

G

2a

2 ,

L2

k l

k

l

1

1

1

откуда сразу следует утверждение леммы.

■

Теорема 23.2. Линейный оператор T : D

n D

n 1 , заданный формулой

Tu u

x c , продолжается до линейного непрерывного оператора

1

T : H1 G L2 G1 .

Доказательство. По определению 22.4 пространство H1 G является за-

мыканием своего подпространства D G

и потому для произвольной точки

по норме этого пространства. Сходящаяся последовательность всегда является

фундаментальной. По теореме 23.1 T k

будет фундаментальной в банаховом

пространстве L2 G1 . Поэтому T k будет сходиться к некоторому элементу,

который обозначим T . Легко видеть, что оператор T является искомым.

Его ограниченность следует из (*).

■

Теорема 23.3. След u

x c функции u x H1 G на гиперплоскость

1

G1 G x

n; x1 c непрерывно зависит от c .

Доказательство. Рассмотрим смещение c c по первой координате. То-

гда

u c c, x2,

, xn u c, x2,

, xn

c c

u

dx1.

c

x1

Возведем обе части последнего равенства в квадрат

c c

u

2

u c c, x2,

, xn u c, x2,

, xn 2

dx1

x1

c