Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 34 Пар 25 Спектр ЛАПЛ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

250.3 Кб

Скачать

☆

§25. Спектр оператора Лапласа

Из определений 22.1 и 22.4 следует, что любая функция из простран-

ства H1 G автоматически принадлежит также пространству L2 (G) .

Теорема 25.1. Тождественный оператор I : H1 G L2 G , I u u является вполне непрерывным оператором.

Доказательство. Покажем, что образ единичного шара

U u H G

;

1 при тождественном операторе является предком-

пактным множеством в L2 G . Для любого 0 рассмотрим усреднение

y dy ,

(*)

(функцию u x

вне G продолжаем нулем). В §5 мы доказали, что u x −

основные функции, которые сходятся к u x

по норме пространства L2 G .

Тем более, для каждого > 0 найдѐтся , при котором семейство таких

усреднений U

u ;u U образует /2-сеть для шара U. Из (*) следует, что

для фиксированного 0 имеем оценку

dy C

12 dy

(**)

L2 G

Так как все u U, то семейство функций U

равномерно ограничено.

Далее заметим, что

x y

dy u

x y

Тогда, аналогично (**), имеем оценку

dy CG

u

Из неѐ следует, что семейство


			всех частных производных от
		;u U	всех частных производных от

функций семейства U также равномерно ограничено. Из последнего факта следует, что семейство U равностепенно непрерывно. По теореме АрцелаАсколи мы делаем вывод, что U относительно компактно по sup-норме, а значит, для U существует конечная /2-сеть по sup-норме. Эта сеть является конечной -сетью по sup-норме для шара U. Тождественное отображение из множества U с sup-нормой на U с нормой из L2 G непрерывно, следовательно, последнее множество также относительно компактно. ■

Теорема 25.2. Существует последовательность функций k H1 G , которые являются собственными функциями оператора Лапласа (т.е.

k k k ) и которые составляют ортонормированный базис в простран-

стве L2 G . Кроме того, k при k .

Доказательство. Будем считать, что оператор задан на подпростран-

стве E u H

G ; u L2 G . Покажем сначала, что существует обрат-

ный оператор -1: (Е) Е.

Пусть u1 u2 . Тогда u u1 u2 0 . Из (Г1) следует, что для всех

u,v E выполнено

u,v u,v .

(***)

Отсюда получаем

u,u u,u

0 ,

значит, u u u 0 . Итак, -1: (Е) Е существует.

Покажем, что он непрерывен. Пусть u E . Получаем

(***)

1u,u

Гѐльд.

Фрид.

2 1u, 1u

Следовательно,

Const

Таким образом, обратный к оператору Лапласа является линейным и ограниченным как оператор из E в E .

Установим, что E L2 G . Пусть f L2 G . Выражение , f является линейным непрерывным функционалом по переменной L2 G , т.е.

, f

0 . Отсюда и из неравенства Фридрихса для E получим

, f

0 C

1 . Следовательно, преобразование

, f яв-

H1 G . По-

ляется линейным ограниченным функционалом на пространстве

скольку функция .,. может рассматриваться как скалярное произведение на

H1 G , то по теореме Рисса об общем виде функционала на гильбертовом

пространстве будет существовать u H1 G такое, что

,u , f , H1 G .

Отсюда и из формулы (***) заключаем, что

u, , f ,

т.е. u f , что и требовалось.

Мы установили, что оператор 1 − обратный к оператору Лапласа – является линейным и ограниченным и он действует из пространства L2 G в про-

странство H1 G . Рассмотрим композицию I	1 : L	G L	G . Из тео-
	2	2

ремы 25.1 выводим, что этот оператор является вполне непрерывным.

Опираясь на формулу (***) и полноту пространства H1 G , можно до-

казать (мы этот шаг пропускаем), что этот оператор является самосопряженным. По теореме Гильберта–Шмидта из курса функционального анализа мы заключаем, что его собственные функции k , k 1,2, , образуют ортонор-

мированный базис. Отметим, что нуль не является собственным числом, ибо

оператор 1 взаимно однозначный. Пусть k – соответствующие собственные числа (нам известно, что k 0 при k ). Тогда 1 k k k . Последнее равенство можно переписать в виде k k k или k k k ,

где k	1	.	■

	k

Соседние файлы в папке attachments_26-06-2014_11-15-27

#
30.05.2015511.69 Кб14Лекц 29 Пар 20 продолж.pdf
#
30.05.2015230.03 Кб15Лекц 30 Пар 21 Кр Задачи ЛАП ПУАС.pdf
#
30.05.2015249.34 Кб14Лекц 31 Пар 22 Прос СОБ и нер ФРИДР.pdf
#
30.05.2015237.13 Кб16Лекц 32 Пар 23 СЛЕД.pdf
#
30.05.2015226.36 Кб16Лекц 33 Пар 24 Теор СУЩ Дирихле.pdf
#
30.05.2015250.3 Кб14Лекц 34 Пар 25 Спектр ЛАПЛ.pdf
#
30.05.2015225.35 Кб14Лекц 35 Пар 26 ЗАКЛЮЧ.pdf