Задания для выполнения расчетно-графической работы № 2 Задание № 1

1. Даны точки А(-2;3;-4), В(3;2;5), С(1;-1;2), D(3;2;-4). Вычислить.

2. Даны точки М(-5;7;-6) и N(7;-9;9). Вычислить проекцию векторана ось вектора.

3. Сила, определяемая вектором , разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором. Найти составляющую силыв направлениивектора.

4. Даны векторы и. Вычислить.

5. Даны векторы и. Вычислить.

6. Вычислить проекцию вектора на ось вектора.

7. Даны точки A(3;-4;-2),B(2;5;-2). Найти проекцию векторана ось, составляющую с координатными осямиOX,OYуглы, , а с осьюOZ– тупой угол.

8. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осямиOX,OZуглы,. А осьюOY– острый угол.

9. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

10. Даны векторы и. Найти вектор, удовлетворяющий условиям,,.

11. Даны векторы и. Найти векторпри условии, что он перпендикулярен к оси ОZи удовлетворяет условиям,.

12. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторамии удовлетворяет условию.

13. Вектор , перпендикулярный к векторами, образует с осьюOYтупой угол. Найти его координаты, зная, что.

14. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

15. Вектор , коллинеарный вектору, образует острый угол с осьюOZ. Зная, что, найти его координаты.

16. Вектор перпендикулярен векторамии удовлетворяет условию. Найти координаты.

17. Даны векторы и. Найти косинус угла между векторамии, удовлетворяющими системе уравнений.

18. Векторы ивзаимно перпендикулярны; векторобразует с ними углы, равные, зная, что,,, вычислить.

19. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах иесли известно, что,и.

20. Проверить, являются ли точки A(-1;2;3),B(2;-1;1),C(1;-3;1) иD(-5;3;3) вершинами трапеции.

21. Определить при каком значении α векторы ибудут взаимно перпендикулярны, если,,.

22. . Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами острые углы, если.

23. Найти угол, образованный единичными векторами и, если известно, что векторыиперпендикулярны.

24. ,. Определить при каком значениивекторыибудут перпендикулярны.

25. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(-3;5;6), В(1;-5;7), С(8;-3;-1) и D(4;7;-2) – квадрат.

26. Найти длины сторон и величину угла треугольника с вершинами А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), и С(3;-2; 1) при вершине С.

27. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения А(-1;2;0) в положение В(2;1;3).

28. Зная, что ,,и, вычислить.

29. ,,. Найти.

30. Найти cosмежду диагоналями АС иBDпараллелограмма, если заданы три его вершины А(2;1;3), В(5;2;-1), и С(-3;3; -3).

Задание № 2

По трем заданным точкам построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) длину и уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) площадь треугольника АВС; 5) угол между сторонами ВА и ВС; 6) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины В; 7) составить уравнение медианы, проведенной из вершины С; 8) точку пересечения его медианы, проведенной из вершины С и высоты, проведенной из вершины А; 9) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2:3, считая от точки А; 10) уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно стороне ВС. Координаты вершин треугольника даны в таблице.

№ варианта	А	В	С	№ варианта	А	В	С
5.1	(-2; 5)	(4, 5)	(1, 1)	5.16	(6, 9)	(5, -4)	(4, 6)
5.2	(-3, 1)	(4, -5)	(7, 2)	5.17	(2, 3)	(4, 0)	(5, 3)
5.3	(4, -1)	(4, 4)	(6, 4)	5.18	(8, 7)	(3, 0)	(5, 6)
5.4	(-5, 3)	(4, 6)	(8, 4)	5.19	(8, 1)	(3, 0)	(3, 5)
5.5	(0, -6)	(3, 5)	(-2, 4)	5.20	(1, 3)	(7, 10)	(3, 2)
5.6	(-2, -3)	(10, 6)	(5, 2)	5.21	(4, 0)	(6, 9)	(-2, 1)
5.7	(-6, 2)	(1, 8)	(4, 5)	5.22	(-2, 1)	(-2, 5)	(4, 0)
5.8	(1, 5)	(6, 5)	(5, 7)	5.23	(-2, 1)	(-3, 1)	(4, 10)
5.9	(5, -2)	(7, 2)	(5, 5)	5.24	(1, -2)	(4, -1)	(6, 9)
5.10	(5, -2)	(8, 4)	(6, 5)	5.25	(3, 1)	(3, 2)	(1, 2)
5.11	(9, 6)	(2, 3)	(4, 0)	5.26	(1, -1)	(0, 4)	(1, -1)
5.12	(7, 5)	(4, 0)	(1, 2)	5.27	(1, -1)	(2, -3)	(4, 5)
5.13	(4, 7)	(3, 2)	(-7, 4)	5.28	(-2, 0)	(-1, 2)	(3, 4)
5.14	(7, 3)	(0, 6)	(6, 8)	5.29	(3, 2)	(1, 2)	(6, 6)
5.15	(4, 9)	(2, 4)	(5, 7)	5.30	(0, 4)	(-2, -4)	(6, 6)

Задание № 3

1.Даны две смежные вершины А(-3;1) и В(2;2) параллелограмма АВСDи точкаQ(3;0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

2. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма х-у-1=0, х-2у=0 и точка пересечения его диагоналей О(3;-1). Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

3. Какой угол образует с осью Ох прямая, проходящая через точку D(1;3) и точку пересечения медиан треугольника с вершинами А(-1;4),В(2;3), С(5;8)?

4. Известны вершины треугольника А(-4;-2),В(0;1), С(2;-1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной из вершины В.

5. Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны ромба:

х+2у-4=0, х+2у-10=0 и уравнение одной из его диагоналей х-у+2=0. Найти координаты вершин ромба.

6. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-2),В(0;5), С(-6;5). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.

7. Составить уравнение прямой, симметричной прямой х+2у-6=0 относительно точки А(4;2).

8. Две смежные вершины квадрата имеют координаты (1;4) и (4;5). Найти координаты двух других вершин.

9. При каком значении прямая х+у-=0 касается окружности?

10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2;5) на расстоянии 2 единиц от точки В(0;-1).

11. На прямой х-3у+8=0 найти координаты точки, равноудаленной от двух точек (5;4) и (-3;2).

12. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки

А(-1;2) на прямую 3х-5у-21=0.

13. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;5), В(5;-1), С(8;3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой х+у+4=0.

14. Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.

15. Дан четырехугольник ABCDс вершинами А(3;5),В(6;6), С(5;3),D(1;1). Найти: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) угол между диагоналями.

16. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек А и В постоянно и равно 2.

17. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и вместе с прямыми х-у+12=0, 2х+у+9=0 образует треугольник с площадью, равной 1,5.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5;4), зная , что длина ее отрезка, заключенного между прямыми х+2у+1=0 и х+2у-1=0, равна 5.

19. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1;1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2.

20. Через точку М(4;3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

21. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х+7у-8=0, 3х+2у+5=0 под углом к прямой 2х+3у-7=0.

22. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых 11х+3у-7=0, 12х+у-19=0 на одинаковых расстояниях от точек А(3;-2) и В(-1;6).

23. Найти проекцию точки Р(-8;12) на прямую, проходящую через точки А(2;-3) и В(-5;1).

24. Найти точку М, симметричную точке Р(8;-9) относительно прямой, проходящей через точки А(3;-4) и В(-1;-2).

25. Точка А(-4;5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х-у+8=0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

26. Даны две противоположные вершины квадрата А(-1;3) и С(6;2). Составить уравнения его сторон.

27. Луч света направлен по прямой х-2у+5=0. Дойдя до прямой 3х-2у+7=0, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

28. Даны две вершины треугольника А(-10;2) и В(6;4); его высоты пересекаются в точке Р(5;2). Определить координаты третьей вершины.

29. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная , что длина ее отрезка, заключенного между прямыми 2х-у+5=0 и 2х-у+10=0, равна .

30. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух прямых 3х-у+7=0 и 3х-у-3=0.