Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный аграрный университет»

МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы № 2 для всех направлений бакалавриата

Уфа 2012

00УДК 51(07)

ББК 22.1я73,22.161.6

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства протокол № ________ от ________________ 2010 г.

Составитель: доцент Дик Е.Н.

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент

Лукманов Р.Л.

Введение

Методические указания представили классическую форму самостоятельной деятельности в виде вариантов расчетно-графической работы, позволяющих осуществить индивидуальную проверку знаний студентов, а также способствующих приобретению ими устойчивых навыков в решении задач по указанной теме. Рассмотрены разделы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. В частности, выбраны задания по темам: скалярное, векторное и смешанное произведение векторов; определение уравнений линий первого и второго порядка; взаимное расположение прямой и плоскости; нахождение элементов пространственной фигуры. В настоящем сборнике представлены тридцать индивидуальных вариантов, каждый из которых содержит шесть заданий и примеры решения типовых задач. Варианты заданий выдаются преподавателем. Приводится библиографический список, рекомендуемый для дополнительного изучения, имеющийся в наличии в библиотеке БГАУ.

Представляем решение некоторых типовых заданий.

Задача 1.Найти косинус угла между векторамии.

Решение.

Задача 2. Показать, чтоx²+y²+ 4x- 6y- 3 = 0 есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус.

Решение.

Заданное уравнение преобразуем к виду (x-a)²+ (y-b)²=r².   (1)

Выпишем члены, содержащие только x, и члены, содержащие толькоy. Выделим полные квадраты каждой переменной:

x²+ 4x= (x+ 2)²- 4,

y²- 6y= (y- 3)²- 9.

Левая часть уравнения запишется теперь так:

или отсюда

(x+ 2)²+ (y- 3)²= 16.   (2)

Сравнивая уравнение (2) с (1), заключаем, что уравнение определяет окружность, центр которой имеет координаты О(-2, 3),r²= 16, аr= 4.

Задача 3. Дана равносторонняя гиперболаx²-y²= 8. Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точкуA(4, 6).

Решение.

Уравнение гиперболы преобразуем к каноническому виду и получим ,. Из соотношенияполучаем, чтоc= 4. Значит, координаты фокусов гиперболыF₂(-4, 0) иF₁(4, 0). В этих точках находятся фокусы эллипса. Обозначим большую и малую полуоси эллипса черезa₁иb₁. Расстояние между фокусами эллипса такое же, как и расстояние между фокусами гиперболы. Поэтому половину этого расстояния по-прежнему обозначим черезc. Но у эллипса

т. е. и(1)

Для определения a₁иb₁нужно найти еще одно соотношение, связывающее их. Искомое уравнение эллипса запишется так:

(2)

Поскольку точка A(4, 6) лежит на эллипсе, ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса. Подставляя в последнее уравнениеx= 4,y= 6, получаем, что. Присоединяя уравнение (1) к этому уравнению, получаем для определенияисистему уравнений:

Откуда ;. Подставляя эти значения в (2), находим искомое уравнение.

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.

Задача 5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахи его высоту, опущенную из вершинына грань.

Задача 6. Найти расстояние от точкидо плоскости, проходящей через точки.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:

Задача 7. Найти точку, симметричную точкеотносительно прямойL, заданной уравнением

Поместим прямую в некоторую плоскость α и составим ее уравнениеоткуда. Найдем точку пересечения прямойLи плоскости α.

- координаты точки пересечения.

Отсюда,

Следовательно, - искомая точка.