Finansovaya_matematika_v_Excel_Levin_L_A

31

Рис. 1-7 Различные варианты начисления процентов

Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

1.3.4.Переменная ставка процентов

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

где rk – последовательные во времени значения процентных ставок;

nk – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Пример 1-19

Фирма получила кредит в банке на сумму 250000долларов сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена:

для первого года – в 10% для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%,

для последующих лет предусмотрена надбавка к процентной ставке первого года в размере 1%.

Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа

Решение

FV = PV *(1 + r1)n1 * (1 + r2)n2 * … * (1 + rk)nk =

=250000 * (1 + 0,1) * (1 + 0,115) * (1 + 0,125)3 = 436581.3 доллара

33

C – FV = PV(1 + r) n

D– FV = PV(1 + n*r)*(1 + r)n

2.Начисление по схеме сложных процентов предпочтительнее:

A – при краткосрочных финансовых операциях; B – при сроке финансовой операции в один год; C – при долгосрочных финансовых операциях;

D– во всех вышеперечисленных случаях.

3.Чем больше периодов начисления процентов:

A – тем медленнее идет процесс наращения;

B – тем быстрее идет процесс наращения; C – процесс наращения не изменяется;

D – процесс наращения предсказать нельзя. 4. Номинальная ставка – это:

A – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год;

B – отношение суммы процентов, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды;

C – процентная ставка, применяется для декурсивных процентов;

D – годовая ставка, с указанием периода начисления процентов.

5. Формула сложных процентов с неоднократным начислением процентов в течение года:

A – FV = PV(1 + r) m * n

B – FV = PV(1 + r / m) m*n C – FV = PV / m * (1 + r) n / m

D – FV = PV(1 + r * m) m* n

6. Эффективная ставка процентов:

A – не отражает эффективности финансовой операции; B – измеряет реальный относительный доход;

C – отражает эффект финансовой операции;

D – зависит от количества начислений и величины первоначальной суммы.

7.Формула сложных процентов с использованием переменных процентных ставок:

A – FV = PV(1 + r1) n1 * (1 + r2) n2 *… *(1 + rk) nk

B – FV = PV(1 + nkrk)

С – FV = PV(1 + n1r1 * n2r2 *… *nkrk) nk

D– FV = PV(1 + r*n)*(1 + r)

8.В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом

лет, начисление процентов возможно с использованием:

A – общего метода;

B – эффективной процентной ставки; C – смешанного метода;

D – переменных процентных ставок.

9. Смешанный метод расчета:

A – FV = PV(1 + r)а + в

B – FV = PV(1 + r)а *(1 + вr) C – FV = PV(1 + а*в*r)n

D– FV = PV(1 + r)а *(1 + r)в

10.Непрерывное начисление процентов – это:

A – начисление процентов ежедневно; B – начисление процентов ежечасно;

37

где kд – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов. Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. kd = 1/(1 + n*r).

Пример 1-23

Через 250 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 500 тыс. руб., исходя из 10% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга.

Решение:

Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:

PV = FV * 1 / (1 + t / T * r ) =

= 500000 * 1 / (1 + 250 / 360 * 0,1) = 467532.5 руб. PV = FV * kд = 500000 * 1.0694 = 467532.5 руб..

Таким образом, первоначальная сумма долга составила 467532.5 руб руб., а проценты за 250 дней – 23116.88 руб.

Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной ставке процентов

равно:

Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:

где kd – коэффициент дисконтирования (приведения)

Пример 1-24

Вы решили через 2 года приобрести автомобиль стоимостью 200000 руб.С этой целью Вы намерены сегодня воспользоваться услугами банка, предоставляющего ссуду под 10% годовых с капитализацией процентов:

а) ежегодно; б) ежемесячно.

Какая сумма должна быть положена в банк?

Решение

FV

а) PV = (1+ r / m)m*n = 200000/(1+0.1/1)2 = 165289.3 руб.

FV

б) PV = (1+ r / m)m*n =200000/(1+0.1/12)24 =163881.9 руб.

38

1.4.2.Банковский учет

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств, (например, векселя13) банком по цене, которая меньше номинальной указанной в ней суммы14. В этом случае говорят, что вексель учитывается и клиент получает сумму:

где FV - номинальная сумма данного обязательства; PV - цена покупки векселя банком; D - дисконт, сумма процентных денег (доход банка

Схема расчетов по дисконтированию показана на рис.4-8 для случая, когда до срока оплаты векселя векселедателем (т.е. тем, кто его выдал) остался год

Рис. 1-8 Схема дисконтирования

Для расчета дисконта могут быть использованы

как простая, так и сложная учетные ставки.

Простая учетная ставка15:

где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.

Отсюда:

где kd = (1 - n * d) – дисконтный множитель.

Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт.

13 Вексель – обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, т.е. купить его за сумму Р, меньшую, чем номинал S. Такая сделка называется дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом

14Дисконтирование может быть также связано и с проведением кредитной операции при начислении процентов в начале интервала начисления и заемщик получает сумму PV за вычетом процентных денег D из наращиваемой суммы кредита FV, подлежащей к возврату

15Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.

16Обратите внимание, что величины n и d могут оказаться такими, что nd > 1 и, соответственно, величина PV будет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не согласится отдать вексель, да еще

уплатить за это сумму равную FV*(n*d-1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1 >

n*d > 0.

40

Пример 1-26

Вексель на сумму 100 тыс. руб. и сроком платежа через 3 года продан с дисконтом по сложной учетной ставке 30% годовых.

Какова сумма дисконта и современная величина платежа?

Решение

PV = FV*(1-d)n = 100000*(1-0.3)3 = 34300 руб. D =FV-PV = 100000 – 34300 = 65700 руб.

Пример 1-27

Заемщик должен возвратить кредитору долг в сумме 1 млн. 200 тыс. руб. Первоначальная сумма была выдана заемщику ссудой в размере 1 млн. руб. под 50% годовых, начисляемых по сложной учетной ставке. На какой срок заемщику выдавалась ссуда, если T=360 дней?

Решение.

n = ln( PV / FV )

ln(1− d ) = ln(1/1.2)/ln(1-0.5) = 0.263 года 94 дня.

1.4.3.Тест для проверки качества усвоения пройденного материала

1. Дисконтирование – это:

A – процесс начисления и удержания процентов вперед;

B – определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину;

C – разность между наращенной и первоначальной суммами.

2.Банковский учет – это учет по:

A – учетной ставке;

B – процентной ставке;

C – ставке рефинансирования; D – ставке дисконтирования.

3.Антисипативные проценты – это проценты, начисленные:

A – с учетом инфляции; B – по учетной ставке;

C – по процентной ставке.

4.Дисконтирование по сложным процентам осуществляется по

формуле:

A – PV = FV(1 + r) -n

B – PV = FV(1 + r) -1

C – PV = FV(1 - d) n

D – PV = FV(1 + r) n

5. Дисконтирование по простой учетной ставке осуществляется по формуле:

A – PV = FV(1 - d) n

B – PV = FV(1 - d) -n

C – PV = FV(1 – n*d) D – PV = FV(1 + n*d) -1

6. Какой вид дисконтирования выгоднее для векселедержателя: