1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 5 / Солнцева Светлана СРС 5_Исправленный Солнцева Светлана, гр. 8512

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ОСУ

Самостоятельная работа студента №5

Метод Жордановых исключений

Выполнила: студентка группы 8512

Солнцева Светлана Сергеевна

Проверил: Ротарь В.Г.

ТОМСК

2004

ЗАДАНИЕ

Решить задачу линейного программирования для индивидуального задания (СРС №5):

1. Сформировать исходную задачу линейного программирования размерностью [2;5] на основе ФИО студента в соответствии с правилами для СРС-4. Оба ограничения задать в виде «  ».

2. Решить задачу линейного программирования произвольным перебором базисов (например, в лексикографическом порядке выбора номеров базисных переменных для смежных базисов). Значения базисных переменных вычислять с помощью процедуры Жордановых исключений, по крайней мере, для первых трёх возможных базисов.

3. Прокомментировать решение задачи (п. 2), полученное перебором всех возможных базисов, а также сравнить с решением задачи для СРС-4.

ХОД РАБОТЫ.

1. Формируем исходную задачу линейного программирования (см. задание СРС №4) с матрицей условий размерностью [2;5].

z(x) = x₁ + х₂ + x₃ + х₄ + x₅ => max(min) , при условиях, что:

4x₁ + 2х₂ + 6x₃ + 6х₄ + 3x₅  1991

6x₁ + 4х₂ + 2x₃ + 3х₄ + 6x₅  1292

Из СРС №4 мы знаем, что решениями данной системы были:

• Z_max (X*) = 457,5 при

х₁ = 0

х₂ = 188,5

Х*= х₃ = 269

х₄ = 0

х₅ = 0

• Z_min (X*) = 356,54 при

х₁ = 74,12

х₂ = 0

Х*= х₃ = 0

х₄ = 282,42

х₅ = 0

2. Решаем задачу линейного программирования методом перебора базисов в лексикографическом порядке выбора номеров базисных переменных для смежных базисов, а значения базисных переменных будем вычислять с помощью процедуры Жордановых исключений. Для наглядного решения составим таблицу:

Базис	Значение базисных компонент				Значение целевой функции	Допустимость решения
А1 А2	х1 =	1345	х2 =	-1694,5	––––	недопустимый
А1 А3	х1 =	134,64	х3 =	242,07	376,71	допустимый
А1 А4	х1 =	74,12	х4 =	282,42	356,54	допустимый
А1 А5	х1 =	1345	х5 =	-1129,67	––––	недопустимый
А2 А3	х2 =	188,5	х3 =	269	457,5	допустимый
А2 А4	х2 =	98,83	х4 =	298,89	397,72	допустимый
А2 А5	х2 =	–––	х5 =	–––	––––	недопустимый
А3 А4	х3 =	-296,5	х4 =	628,33	­­­––––	недопустимый
А3 А5	х3 =	269	х5 =	125,67	394,67	допустимый
А4 А5	х4 =	298,89	х5 =	65,89	364,78	допустимый

Рассмотрим заполнение таблицы на примере следующих базисов:

1. Базис А₁ А₂, следовательно, базисные переменные х₁ и х₂. Получим систему двух уравнений, решением которой будет:

4x₁ + 2х₂ = 1991 х₁ = -1694,5

6x₁ + 4х₂ = 1292 х₂ = 1345

Анализируя полученный результат, делаем вывод, что, данный базис является недопустимым, т.к. одна из базисных переменных отрицательна.

2. Базис А₂ А₃, следовательно, базисные переменные х₂ и х₃. Получим систему двух уравнений, решением которой будет:

2x₂ + 6х₃ = 1991 х₂ = 188,5

4x₂ + 2х₃ = 1292 х₃ = 269

Анализируя полученный результат, делаем вывод, что, данный базис является допустимым, т.к. обе базисные переменные неотрицательны.

Таким образом, подставив значения базисных переменных в целевую функцию, получим:

Z(X) = х₂ + х₃ = 269 + 188,5 = 457,5

3. Базис А₁ А₄, следовательно, базисные переменные х₁ и х₄. Получим систему двух уравнений, решением которой будет:

4x₁ + 6х₄ = 1991 х₁ = 74,12

6x₁ + 3х₄ = 1292 х₄ = 282,42

Анализируя полученный результат, делаем вывод, что, данный базис является допустимым, т.к. обе базисные переменные неотрицательны.

Таким образом, подставив значения базисных переменных в целевую функцию, получим:

Z(X) = х₁ + х₄ = 74,12 + 282,42 = 356,54

3. Таким образом, просматривая полученные значения в таблице, мы выбираем допустимые базисы, отбрасывая базисы недопустимые, и проводим их анализ. Среди значений целевой функции Z(X) выбираем минимальное и максимальное, на основе чего выбираем оптимальные базисы при минимизации и максимизации целевой функции.

• При минимизации целевой функции:

Z_min (X*) = 356,54 при

х₁ = 74,12

х₂ = 0

Х*= х₃ = 0

х₄ = 282,42

х₅ = 0

• При максимизации целевой функции:

Z_max (X*) = 457,5 при

х₁ = 0

х₂ = 188,5

Х*= х₃ = 269

х₄ = 0

х₅ = 0

Решения задачи линейного программирования, полученные путем перебора всех возможных базисов, сравниваем с результатами, полученными на основе графического построения (см. СРС №4), делаем вывод, что они совпадают, следовательно, задача линейного программирования решена верно.

3