1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 2 / Морланг Ольга СРС2_SelfWork1MorlangOlga

5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Кафедра оптимизации систем управления

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Решение задачи линейного программирования

Выполнила

Студентка О.В.Морланг

IV курс, группа 8512

« 01 » октября 2004 г.

Проверил

В.Г.Ротарь

«__» _______ 200 __ г.

Томск, 2004

Шифр: МОРЛАНГ ОЛЬГА ВАСИЛЬЕВНА

Преобразуя буквы по порядку в соответствующие им порядковые номера, заполним необходимыми значениями таблицу 1:

Таблица 1

Исходные данные

		Х1	Х2	Условие	Примечание
		1	2	3	4
Коэффициент в целевой функции	Z(x)	М – 14	О – 16	=>	Max
Ограничение 1	g1(x)	Р – 18	Л – 13	≤	А – 1
Ограничение 2	g2(x)	Н – 15	Г – 4	≤	О – 16
Ограничение 3	g3(x)	Л – 13	Ь – 30	≤	Г – 4

Преобразуем данные таблицы 1 в аналитический вид:

Z(x) = 14*х₁ + 16*х₂ => max

1

(1)

8х₁ + 13 х₂ ≤ 1

15х₁ + 4х₂ ≤ 16

13х₁ + 30х₂ ≤ 4

где х₁, х₂ ≥ 0

Задание: используя исходные данные и их вариации, решить задачу с рассмотрением следующих варрантов:

1. Задача имеет единственное решение.

2. Задача имеет бесконечное множество решений.

3. Задача решений не имеет в виду несовместимости условий.

4. Задача решений не имеет, т.к. область допустимых значений представляет собой незамкнутую и вогнутую фигуру.

Вариант 1.

Построим область допустимых значений. Для этого приведём систему неравенств (1) в систему уравнений (2):

Z(x) = 14*х₁ + 16*х₂ => max

1

(2)

8х₁ + 13 х₂ = 1

15х₁ + 4х₂ = 16

13х₁ + 30х₂ = 4

где х₁, х₂ = 0

Построим прямые, соответствующие уравнениям (график 1):

График 1. Область допустимых значений

Z(x) = 14*х₁ + 16*х₂

А

О

С

График 2. Область допустимых значений с прямой целевой функции в масштабе

Область допустимых значений – треугольник АОС с координатами в вершинах: А (0,3;0,13), О (0;0), С (0,055;0,076) (график 2). В точке А происходит только касание целевой функции с областью допустимых значений, следовательно, точка А – оптимальное решение задачи.

Вариант 2. Целевая функция параллельна ограничивающему условию.

Приведём целевую функцию к следующему виду:

Z₁(x) = 18*х₁ + 13*х₂ => max

Z₁(x) = 18*х₁ + 13*х₂

А

О

С

График 3. Решение задачи по варианту 2

На отрезке АС (график 3) получаем бесконечное множество решений, так как целевая функция совпадает с отрезком, который является одной из границ ОДЗ, а значит условию будет удовлетворять вся область координат точек отрезка АС.

Вариант 3. Область допустимых значений не является замкнутой фигурой.

Изменим систему условий:

Z₃(x) = 14*х₁ + 16*х₂ => max

1

(1)

8х₁ - 6х₂ ≤ 25

17х₁ + 4х₂ ≤ 16

13х₁ + 30х₂ ≤ 8

где х₁, х₂ ≥ 0

График 3. Решение задачи по варианту 3

В итоге имеем отсутствие области допустимых значений в виду несовместимости начальных условий (график 3). Решением данной задачи является пустое множество.

Вариант 4. Область допустимых значений не ограничена.

Изменим систему условий:

Z₃(x) = 14*х₁ + 16*х₂ => max

1

(1)

8х₁ + 13х₂ ≤ 1

17х₁ + 4х₂ ≥ 16

13х₁ + 30х₂ ≤ 8

где х₁, х₂ ≥ 0

17х₁ + 4х₂ ≥ 16

График 4. Решение задачи по варианту 4

В данном случае область допустимых значений – не ограничена, следовательно, решений при заданных условиях нет.