МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ОСУ

Самостоятельная работа студента №2

Первая геометрическая интерпретация в пространстве переменных для задачи использования технологий

Выполнила: студентка группы 8512

Солнцева Светлана Сергеевна

Проверил: Ротарь В.Г.

ТОМСК

2004

ЗАДАНИЕ

Решить графически задачу линейного программирования для индивидуального задания (СРС №2):

1. Сформировать исходные данные для примера, используя цифровой код ФАМИЛИЯ ИМЯ ОТЧЕСТВО.

2. Решить задачу планирования использования технологий графически, используя интерпретацию условий задачи в пространстве переменных, при максимизации и минимизации целевой функции Z(X) (Задача рационального ведения хозяйства, отвечающая на вопрос «Как? Каким образом?»)

3. Решить графически в пространстве переменных задачу СРС №2 при максимизации целевой функции Z(x). Интерпретировать полученный результат решения.

ХОД РАБОТЫ.

1. Формируем исходные данные:

		X1	Х2	Условие	План выпуска
		Технология 1	Технология 2	3	4
Ограниче-ние 1 БЕНЗИН	g1(X)	С/19	О/16	≥	Л/13
Ограниче-ние 2 КЕРОСИН	g2(X)	Н/15	Ц/24	≥	Е/6
Ограниче-ние 3 ДИЗ ТОПЛИВО	g3(X)	В/3	А/1		С/(19*20)
Ограниче-ние 4 МАЗУТ	g4(X)	В/3	Е/6		Т/(20*30)
Коэфф. в целевой функции	Z(X)	Л/13	А/1		Макси- мизировать

z(x) = 13x₁ + х₂ => max, при условиях, что:

19x₁ + 16x₂ ≥ 13

15x₁ + 24x₂ ≥ 6

3x₁ + x₂  380

3x₁ + 6x₂  600

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

2. Определим область допустимых решений:

19x₁ + 16x₂ = 13

15x₁ + 24x₂ = 6

3x₁ + x₂ = 380

3x₁ + 6x₂ = 600

x₁ = 0

x₂ = 0

Бензин g1(x)		Керосин g2(x)		Диз.топливо g3(x)		Мазут g4(x)
x1	x2	x1	x2	x1	x2	x1	x2
0	13/16	0	0,25	0	380	0	100
13/19	0	0,4	0	380/3	0	200	0

Градиент целевой функции определяется с помощью частных производных:

,

Таким образом, градиент целевой функции направлен в первую четверть координатной плоскости, в этом же направлении происходит увеличение целевой функции.

Область допустимых решений – замкнутый ограниченный выпуклый пятиугольник. Вершины этого пятиугольника представляют собой точки с координатами:

1. Точка А (13/19; 0) лежит на пересечении ограничения g₁(x) и координатной оси Х₁.

2. Точка В (0; 13/16) лежит на пересечении ограничения g₁(x) и координатной оси Х₂.

3. Точка С (0; 100) лежит на пересечении ограничения g₄(x) и координатной оси Х₂.

4. Точка D (112; 44) лежит на пересечении ограничения g₃(x) и ограничения g₄(x).

5. Точка Е (380/3; 0) лежит на пересечении ограничения g₃(x) и координатной оси Х₁.

Для нахождения точки D решим систему уравнений g₃(x) и g₄(x):

3x₁ + x₂ = 380

3x₁ + 6x₂ = 600

– 5 x₂ = - 220 =>

x₂ = 44

Подставим координаты точек в целевую функцию:

1. точка А: z(x) = 13*(13/19) + 0 ≈ 8,895

2. точка В: z(x) = 13*0 + 13/16 ≈ 0,8125

3. точка С: z(x) = 13*0 + 100 ≈ 100

4. точка D: z(x) = 13*112 + 44 ≈ 1500

5. точка С: z(x) = 13*(380/3) + 0 ≈ 1646,67

При условии максимизации целевой функции область допустимых решений имеет с ней единственную общую точку с координатами:

Х* = (380/3; 0)

Для данных координат целевая функция принимает значение:

z(x*)_max = 13*(380/3) + 0= 4940/3 ≈ 1646,67

ОТВЕТ

Для получения максимального валового дохода размером 1646,67 у.е. необходимо работать в течение 126 часов 40 минут (если принять за условную единицу 1 час) по технологии Х₁.

6