1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 2 / МорлангSelfWork2MorlangOlga
.doc
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
Кафедра оптимизации систем управления
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Решение задачи линейного программирования
Выполнила
Студентка О.В.Морланг
IV курс, группа 8512
« 16 » октября 2004 г.
Проверил
В.Г.Ротарь
«__» _______ 200 __ г.
Томск, 2004
Задание: Решить графически задачу линейного программирования для индивидуального задания (СРС № 2):
-
Сформировать исходные данные для примера, используя цифровой код ФАМИЛИЯ, ИМЯ, ОТЧЕСТВО.
-
Решить задачу планирования использования технологий графически, используя интерпретацию условий задачи в пространстве переменных, при максимизации и минимизации целевой функции Z(х). (Задача рационального ведения хозяйства, отвечающая на вопрос «Как? Каким образом?»).
-
Решить графически в пространстве переменных задачу СРС № 2 при максимизации целевой функции Z(х). Интерпретировать полученный результат решения.
Таблица 1
Исходные данные
|
Х1 |
Х2 |
Условие |
План выпуска |
|
Технология 1 |
Технология 2 |
3 |
4 |
||
Ограничение 1 БЕНЗИН |
g1(x) |
М – 14 |
О – 16 |
≥ |
Р – 18 |
Ограничение 2 КЕРОСИН |
g2(x) |
Л – 13 |
А – 1 |
≥ |
Н – 15 |
Ограничение 3 ДИЗ ТОПЛИВО |
g3(x) |
Г – 4 |
О – 16 |
≤ |
Л – 13*20 |
Ограничение 4 МАЗУТ |
g4(x) |
Ь – 30 |
Г – 4 |
≤ |
А – 1*30 |
Коэффициент в целевой функции |
Z(x) |
В – 3 |
А – 1 |
=> |
Максими зировать |
Преобразуем данные таблицы 1 в аналитический вид:
Z(x) = 3*х1 + х2 => max
1
(1)
13х1 + х2 ≥ 15
4х1 + 16х2 ≤ 260
30х1 + 4х2 ≤ 30
где х1, х2 ≥ 0
Построим область допустимых значений. Для этого приведём систему неравенств (1) в систему уравнений (2):
Z(x) = 3*х1 + х2 => max
1
(2)
13х1 + х2 = 15
4х1 + 16х2 = 260
30х1 + 4х2 = 30
где х1, х2 = 0
П остроим прямые, соответствующие уравнениям (график 1):
График 1. Область допустимых значений
Область допустимых значений – трапеция с вершинами А(0;1,125), O(0;0), D(1;0), С(0,962;0,283). Точка С – точка пересечения прямых g1(x) и g4(x). Находится путём решения системы уравнений:
14х1 + 16 х2 = 18
30х1 + 4х2 = 30
В результате решения этой системы получаем х1 = 0,962, х2 = 0,283. Это и есть координаты точки С.
Градиент целевой функции Z(x) находим по частным производным:
.
При параллельном переносе целевой функции Z(x) перпендикулярно её градиенту получаем пересечение этой функции с вершиной С(0,962;0,283). Значение функции Z(x) в этой точке будет равно 3,169.
Подставим координаты верщин трапеции AODC в целевую функцию:
-
А(0;1,125): Z(x) = 3*0 + 1*1,125 = 1,125.
-
O(0;0): Z(x) = 3*0 + 1*0 = 0.
-
D(1;0): Z(x) = 3*1 + 1*0 = 3.
-
С(0,962;0,283): Z(x) = 3*0,962 + 1*0,283 = 3,169.
При условии максимизации целевой функции область допустимых значений имеет с ней одну общую точку с координатами (0,962; 0,283). Целевая функция принимает значение в этой точке равное 3,169. Это и будет искомым оптимальным значением.