DisMathTPU

101

деленным правилам. В данном случае частичным решением является множество допустимых интервалов функции. На каждой итерации будем изменять решение, либо добавляя в него новый интервал, либо расширяя один из имеющихся интервалов. При этом желательно как можно меньше изменять частичное решение, то есть добавлять интервал наименьшей мощности или расширять интервал по наименьшему числу компонент.

Пусть на k-й итерации имеются частичное решение Uk и множество Mk

точек функции, не содержащихся ни в одном интервале из Uk (на первой итерации U1 = ;, M1 = Mf1 ). Построим булеву матрицу совместимости Rk, строкам которой сопоставим точки из Mk, а столбцам интервалы

èç Uk. Элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен единице, если i-я точка совместима с j-м интервалом.

Далее будем обозначать строки и столбцы матрицы совместимости символами сопоставленных им точек и интервалов.

Пусть строка матрицы совместимости не содержит единиц. Это озна-

чает, что в множестве Uk нет ни одного интервала, совместимого с точкой , то есть ни один интервал не может быть расширен на множестве Mf1 [Mf так, чтобы расширение включало точку . Значит, в множество Uk следует

добавить интервал, совместимый с . Такой интервал наименьшей мощности это сама точка. Отсюда вытекает следующее правило.

Правило строки без единиц. Если в матрице совместимости есть строка, не содержащая ни одной единицы, то она удаляется из матрицы. В матрицу добавляется столбец, которому сопоставляется вектор из удаленной строки.

Пример. Рассмотрим неполностью определенную булеву функцию пяти переменных и пронумеруем для наглядности ее точки.

На первой итерации (матрица совместимости R1 на следующей странице)

U1 = ;, M1 = Mf1 . Ни одна строка не содержит единиц, следовательно, можно применить правило строки без единиц к первой строке (договорим-

ся здесь и далее среди равноценных строчек выбирать верхнюю). Первый

102

интервал 00000 не совместим ни с одной точкой функции (матрица R2). Еще раз применяем правило ко второй строке (матрица R3). Второй интер- âàë 00011 совместим только с шестой точкой, содержащий их допустимый

интервал наименьшей мощности показан на матрице Грея слева. Текущее решение показано на матрице Грея справа. Здесь и далее мы выделяем интервалы из текущего частичного решения и содержащиеся в них точки.

Пусть столбец I матрицы совместимости не содержит единиц. Это озна-

чает, что в множестве Mk нет ни одной точки, совместимой с интервалом I, то есть данный интервал не может быть расширен на множестве Mf1 [Mf таким образом, чтобы расширение включало точку из Mk. Следовательно,

интервал I, предварительно расширенный до максимального, может быть добавлен в окончательное решение. Отсюда вытекает следующее правило.

Правило столбца без единиц. Если в матрице совместимости есть столбец, не содержащий ни одной единицы, то он удаляется из матрицы. Интервал из удаленного столбца расширяется до максимального и добавляется в окончательное решение.

Если существует несколько способов расширения интервала до максимального, то из них можно выбрать тот, который приводит к расширению наибольшей мощности.

103

Пример. Применим это правило к первому столбцу построенной в предыдущем примере матрицы совместимости R3. В результате получим ма- трицу R4.

На матрице Грея слева показаны два допустимых расширения интервала 00000 одинаковой мощности, включаем в окончательное решение интервал

I1 = 0 000. Текущее решение показано на матрице справа.

есть интервал может быть единственым образом расширен на множестве Mf1 [Mf так, чтобы расширение включало точку из Mk. Значит, интервал

I необходимо заменить на его минимальное расширение до точки . При этом точка удаляется из Mk. Отсюда вытекает следующее правило.

Правило столбца с одной единицей. Если в матрице совместимости есть столбец I, содержащий ровно одну единицу (в строке ), то эта строка уда-

ляется из матрицы, а интервал I заменяется на [I; ].

Заметим, что после применения правила столбца с одной единицей в матрице появляется столбец без единиц, к которому можно применить соответствующее правило.

104

Пример. Применим правило столбца с одной единицей ко второму столбцу полученной в предыдущем примере матрицы R4. Интервал 00011, совместимый только с шестой точкой 11011, заменим на интервал [00011; 11011] =

011, а шестую строку удалим из матрицы, получим матрицу R5. Òåêó- щее решение показано на матрице Грея слева. Затем к тому же столбцу применим правило столбца без единиц, получим матрицу R6 и включим в окончательное решение интервал I2 (матрица Грея справа).

Применение этих правил не ухудшает окончательное решение, то есть не увеличивает длину ПриКратДНФ, поэтому их можно использовать в любом порядке.

Пример. Продолжим процесс минимизации функции. Применим к ма- трице R6 дважды правило строки без единиц: сначала к третей, затем к четвертой строкам.

105

Третий интервал 00101 совместим с пятой, восьмой и девятой точками

функции, что показано на матрице Грея слева. Текущее решение представлено на матрице справа.

ниц. На матрице Грея представлены допустимые расширения четвертого интервала 01010. Получаем матрицу R9 и включаем в решение интервал I3. Применяем правило строки без единиц, получаем матрицу R10.

На матрице Грея слева продемонстрирована совместимость пятого интервала 11111 с пятой и восьмой точками, на матрице Грея справа текущее

решение.

К последней матрице совместимости не применимо ни одно из рассмотренных правил. Это означает, что каждая точка совместима с каким-либо

интервалом частичного решения, и существует не единственная возможность расширить любой интервал из Uk на множестве Mf1 [Mf так, чтобы

расширение включало точку из Mk.

В этом случае необходимо расширить один из интервалов так, чтобы расширение содержало какую-либо из совместимых с ним точек. Было показано, что наилучшим в данном случае является выбор интервала наибольшего ранга и его расширение по минимальному числу компонент.

106

Определение. Рангом столбца матрицы совместимости назовем ранг сопоставленного столбцу интервала.

Правило столбца наибольшего ранга. Если к матрице совместимости не применимо ни одно из трех предыдущих правил, то в ней выбирается столбец I наибольшего ранга. Среди совместимых с ним точек находится точка

с минимальным числом компонент, ортогональных внешним компонентам интервала I. Из матрицы удалются строки, которым сопоставлены точ- ки из [I; ]. Интервал I заменяется на [I; ] и столбец I пересчитывается.

Заметим, что если интервал I не является совместимым с точкой , то и интервал [I; ] и точка также несовместимы, то есть нули в столбце I останутся нулями и в столбце [I; ]. Значит, необходимо проверить совместимость интервала [I; ] лишь с точками, совместимыми с интервалом I (некоторые единицы могут стать нулями).

Пример. Применим правило к матрице R10. Выберем третий столбец максимального ранга 5. Точка 01101 ортогональна интервалу 00101 ëèøü

по одной компоненте, следовательно, заменим интервал в третьем столбце I0 = [00101; 01101] = 0 101 и удалим пятую строку. Расширение I0 остает-

ся совместимым с восьмой точкой 11101 и перестает быть совместимым с девятой 10101, что показано на матрице Грея слева.