DisMathTPU

92

9) Запишем кратчайшую ДНФ по кратчайшему покрытию таблицы

Квайна.

КратДНФ0 = a c _ b d _ a b c _ b c d: A B C E

10) Построим матрицу Грея по полученной кратчайшей ДНФ.

c

C d

?

E b 6

a ? ?

AB

Вывод. Матрицы Грея, из задач 1) и 10) совпали, значит, кратчайшая

ДНФ из задачи 9) задает исходную функцию. Кроме того, длины кратчайших ДНФ из задач 3) и 9) равны, значит, эти задачи решены верно.

10) Построим приближенную кратчайшую ДНФ по матрице Грея алгоритмом Закревского. На левой матрице показываем цены точек, на правой обозначàåì точки.

Выбираем точку минимальной цены 2. Она входит в два максималь-

ных интервала (левая матрица внизу). Оба интервала содержат по две неотмеченных точки, и оба одинаковой мощности, поэтому в решение вклю- чаем любой из них. Отмечаем точки (на средней матрице).

Выбираем неотмеченную точку минимальной цены 2. Она входит в

один максимальный интервал (средняя матрица), включаем его в решение и отмечаем точки (на правой матрице).

Выбираем неотмеченную точку " минимальной цены 2. Она входит в

один максимальный интервал (правая матрица), включаем его в решение и отмечаем точки (на следующей матрице).

95

Пример. Рассмотренная в предыдущем примере неполностью определенная булева функция имеет восåìü äоопределений.

Определение. Минимизировать неполностью определенную булеву функцию это значит выбрать среди кратчайших ДНФ всех ее доопределений самую короткую ДНФ.

Пример. Для рассмотренной в предыдущем примере функции f (x; y; z) самой короткой оказывается кратчайшая ДНФ доопределения f6(x; y; z).

Таким образом, тот факт, что неполностью определенная булева функция задается не на всем булевом пространстве, а лишь на его подмножестве, мы используем для такого выгодного доопределения функции, которое приводит к наиболее короткой ДНФ и (согласно рассуждениям со стр. 62) к наиболее простой схеме, реализующей функцию.

Конечно, как и в случае полностью определенной булевой функции, возможны другие постановки задачи минимизации неполностью определенной функции например, найти ее приближенную кратчайшую ДНФ.

Определение. Интервал I назовем допустимым для неполностью опре-

деленной булевой функции f (x1; : : : ; xn), если он удовлетворяет условиям:

I Mf1 [ Mf , I \ Mf1 6= ;.

Определение. Интервал I назовем максимальным для неполностью

определенной булевой функции, если он допустим для этой функции, и не существует другого допустимого для нее интервала I0 такого, что I I0.

96

Пример. На левой матрице Грея изображены два недопустимых интервала I1 = 01 è I2 = 01 , на средней допустимый интервал I = 00 (но не максимальный), на правой максимальный I0 = 0 .

12.2.1. Поиск кратчайшей ДНФ неполностью определенной булевой функции

Для поиска кратчайшей ДНФ неполностью определенной булевой функции можно использовать двухэтапный метод минимизации булевой функции, изложенный в разделе 11, с некоторыми модификациями. Напомним суть метода: на первом этапе находятся все простые импликанты функции (то есть все ее максимальные интервалы), а затем на втором этапе из них выделяются конъюнкции искомых ДНФ (кратчайших или минимальных). Задача второго этапа решается при помощи построения таблицы Квайна булевой функции и поиска ее покрытий.

Для нахождения всех максимальных интервалов неполностью определенной функции f (x1; : : : ; xn) можно применить алгоритм Квайна-Мак-

Класки или алгоритм Блейка-Порецкого к ее доопределению f(x1; : : : ; xn),

которое удовлетворяет условию: Mf1 = Mf1 [ Mf , а затем исключить из найденных интервалов те, которые не содержат ни одной точки функ-

öèè f (x1; : : : ; xn). Таблица Квайна неполностью определенной функции f (x1; : : : ; xn) строится аналогично таблице Квайна булевой функции.

Алгоритм поиска кратчайшей ДНФ неполностью определенной булевой функции (основан на нахождении всех максимальных интервалов функции, построении таблицы Квайна и поиске кратчайшего покрытия этой таблицы).

Начало. Задана частичная булева функция f (x1; : : : ; xn).

Шаг 1. Находим все максимальные интервалы функции f (x1; : : : ; xn). Шаг 2. Строим таблицу Квайна функции f (x1; : : : ; xn).

Шаг 3. Находим кратчайшее покрытие таблицы Квайна, а по покрытиюкратчайшую ДНФ функции f (x1; : : : ; xn).

Конец.

98

12.2.2. Поиск приближенной кратчайшей ДНФ неполностью определенной булевой функции

В этом разделе будут рассмотрены два алгоритма поиска приближенной кратчайшей ДНФ частичной булевой функции. Первый из них является обобщением рассмотренного в подразделе 11.3 алгоритма Закревского (стр. 85). Шаги алгоритма остаются теми же, отличие заключается лишь

в том, что цена точки определяется как количество соседних ей векторов из множества Mf1 [ Mf .

Пример. Применим алгоритм к матрице Грея из последнего примера. Начало. Точки обозначаем греческими буквами (левая матрица).

Шаг 1. Вычисляем цены точек (правая матрица).

Шаги 2, 3. Выбираем точку (минимальной цены 2). Она входит в два

максимальных интервала (левая матрица). Оба интервала содержат по две неотмеченные точки и имеют одинаковые мощности, поэтому включаем в решение любой из них и отмечаем его точки (правая матрица).

Шаги 2, 3. Выбираем неотмеченную точку (цены 2). Она также входит

в два максимальных интервала. Оба интервала содержат по две неотмеченные точки и имеют одинаковые мощности, поэтому включаем в решение любой из них и отмечаем его точки.

99

Шаги 2, 3. Найдем следующую неотмеченную точку (цены 3). Она

входит в два максимальных интервала, содержащих по одной неотмеченной точке. Включаем в решение интервал большей мощности I3 и отмечаем его точки.

Шаги 2, 3. Найдем следующую неотмеченную точку " (öåíû 3). Îíà

входит в два максимальных интервала (с одной и двумя неотмеченными точками), поэтому включаем в решение интервал I4 с двумя неотмеченны- ми точками и отмечаем их.

Конец. ПриКратДНФ = a b d _ a b d _ a c _ a c: K1 K2 K3 K4

Приближенная кратчайшая ДНФ оказалась длиннее кратчайшей ДНФ, найденной ранее точным алгоритмом, на одну конъюнкцию. Мы могли бы получить и точную кратчайшую ДНФ, если бы на второй итерации шага 2 выбрали другой равноценный вариант интервала (проверьте эту возможность самостоятельно).

Метод конкурирующих интервалов. Изучим еще один метод поиска приближенной кратчайшей ДНФ неполностью определенной булевой функции, который не ориентирован на ее представление матрицей в коде Грея, а значит, может применяться к булевой функции большого числа переменных.

Перед описанием алгоритма введем необходимые определения. Рассмотрим неполностью определенную булеву функцию f (x1; : : : ; xn), ее точкуи допустимый интервал I.

100

Определение. Минимальным расширением интервала I до точки

(обозначается [I; ]) называется интервал I0 минимальной мощности, удо- влетворяющий условиям: I I0, I0.

Как следует из определения, интервал [I; ] строится так:

внутренние компоненты интервала I остаются внутренними и в интервале [I; ],

внешние компоненты интервала I сохраняют свое значение в интерва-

ëå [I; ], если они совпадают с соответствующими компонентами ,

внешние компоненты интервала I становятся внутренними в интервале [I; ], если они ортогональны соответствующим компонентам .

Пример.

I = 1 0 10;= 1 0 0 1 10;

[I; ] = 10:

Определение. Интервал I и точка называются совместимыми, если

интервал [I; ] является допустимым для функции f (x1; : : : ; xn). Пример. Для функции из предыдущего примера интервал A = 0 10

и точка = 0111 совместимы, так как интервал [A; ] = 0 1 является допустимым для функции (левая матрица). Интервал B = 110 и та же точка несовместимы, так как интервал [B; ] = 11 не допустимый для функции (правая матрица).

B

Если число переменных функции слишком велико для ее представления на матрице Грея, то проверить интервал I на совместимость с точкой

можно следующим образом: если хотя бы один вектор из Mf0 принадле- жит интервалу [I; ], то интервал I и точка несовместимы, иначе они

совместимы.

Пример. Для функции из предыдущего примера интервал B = 110 и точка = 0111 несовместимы, так как существует вектор = 1111 из

множества Mf0 , принадлежащий интервалу [B; ] = 11 .

Перейдем теперь к изложению метода конкурирующих интервалов. Метод является итерационным. На каждой итерации метода имеется некоторое частичное решение поставленной задачи, которое улучшается по опре-