ТПН лабы

Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА

хвата σC(0,0253)=16000 б и может оказать влияние на отравление реактора, а сечение радиационного захвата его предшественника на ту же энергию равно σC(105Ru)=2,6 б [9,16].

Найти законы изменения концентрации 105Rh и его предшественника, а также показать зависимость установления равновесной концентрации родия.

1.3.24. При работе ЯР образуется тритий – изотоп водорода с массовым числом 3. Он образуется в результате тройного деления ядер

U 235 , в результате активации ядер дейтерия, содержащихся в воде, и при других реакциях. Период полураспада трития T1 2 =12,4 года, а ве-

образования 31 H при активации дейтерия

NTD (t )= 27,6 NH V ΦT ,

где N H − ядерная концентрация водорода в теплоносителе, V − объем теплоносителя, ΦT − средняя по активной зоне плотность потока тепло-

вых нейтронов. Известно, что из под оболочки твэла в теплоноситель попадает 0,1 0 0 трития. Теплоноситель постоянно обновляется в количестве

0,214 0 0 расхода через реактор. Определите закон изменения концентрации трития NT (t), предполагая, что тритий образуется только при делении топлива, обогащение которого c5 =100 0 0 , и активации дейтерия.

Примечание: Численные значения нейтронно-физических констант, необходимые для решения задач можно найти в [1−3,5,6]. Примеры отдельных моделей рассмотрены в [1,5,7−11,14−16], радиоактивных цепочек [17].

§1.4. Математическая формулировка задачи

Предположим, что изменение концентрации материнского радионуклида может быть выражено уравнением:

21

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ

где N1(t) − текущая концентрация первого радионуклида; q1 − постоянная; λ − постоянная распада, определяемая соотношением через период полураспада T1

С точки зрения баланса уравнение (1.9) можно трактовать следующим образом. Скорость изменения концентрации материнского радионуклида dN1/dt складывается из скорости убыли его за счет радиоактивного распада − λ1N1 и постоянной скорости прибыли q1 от внешнего источника, например, в результате образования за счет реакции деления в ядерном реакторе. В случае отсутствия источника q1=0.

Изменение концентрации дочерних радионуклидов по цепочке распада можно записать в виде системы уравнений:

Видно из (1.11), что скорость изменения концентрации i-го дочернего радионуклида складывается из прибыли за счет радиоактивного распада нуклида предшественника + λi-1Ni-1 и скорости убыли также изза распада i-го нуклида − λiNi.

Если цепочка заканчивается стабильным нуклидом Nn, то его уравнение (1.12) будет учитывать только прибыль за счет радиоактивного распада предшествующего нуклида.

Чтобы найти частные решения системы (1.9), (1.11), (1.12) необходимо дополнить ее начальными условиями, например,

22

Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА

которые означают, что на нулевой момент времени в наличии имелся только первый нуклид.

Таким образом, математической постановка задачи динамики радионуклидов включает систему управляющих дифференциальных уравнений и начальные условия. В нашем примере математическая постановка определяется системой (1.9), (1.11)−(1.13).

Естественно, математическая постановка изменится, если будут иметь место другие источники прибыли и убыли нуклидов, как-то выжег под действием нейтронного потока σaNФ, генерация в процессе деления топлива pΣfФ и др.

Зачастую целесообразнее получить решение системы при произвольных начальных условиях, из которого легко следуют частные случаи. Пример с учетом вышеупомянутых составляющих материального баланса и применения произвольных начальных условий рассмотрен в§1.6.

§1.5. Основной метод решения

Уравнения (1.9), (1.11), (1.12), описывающие динамику радионуклидов, представляют собой нормальную систему неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Запишем это уравнение в нормированном виде

инапомним, что линейным уравнением неоднородным относительно y

иy′ называют такое уравнение, в котором неизвестная функция и ее

производная входят в уравнение линейно или в первой степени.

Отметим в качестве основного метод выделения интегрирующего множителя. Если записать интегрирующий множитель в виде [4]

μ = exp (∫P (x )dx ),

то общее решение получают по формуле:

y = μ −1 Q (x) μ dx +C

23

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ

или

где константа C определяется из начальных условий.

Заметим, что часть задач позволяет получить решение прямым интегрированием. Тем не менее, в работе требуется получить решение по процедуре указанного метода.

§1.6. Динамика отравления теплового реактора самарием

Рассмотрим в качестве примера составление балансового дифференциального уравнения изменения концентрации самария 14962 Sm в активной зоне реактора и получение его аналитического решения.

1.6.1. Вербальная постановка задачи

Одним из особо сильных «паразитных» поглотителей нейтронов в активной зоне реактора на тепловых нейтронах является изотоп самария 149Sm эффективное сечение поглощения, которого при максвелловском спектре нейтронов примерно равно σSm 5 104 б. Появление этого стабильного нуклидахарактеризуетследующаяцепочкараспадаосколковделения149Nd

Здесь периоды полураспада неодима и прометия даны в часах. На основе этих исходных данных требуется составить приемлемую для практики математическую модель процесса.

1.6.2. Построение математической модели динамики процесса

Поскольку Nd сравнительно быстро превращается в Pm, то есть соотношение периодов полураспада имеет вид:

T1/2(Nd) << T1/2(Pm),

24

Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА

то его можно не учитывать и считать, что в результате деления непосредственно образуется Pm с вероятностью выхода pPm = pNd = 0,0113. Тогда дифференциальное уравнение изменения концентрации Pm в соответствие с цепочкой A=149 примет следующий вид:

dNPm (t ) = pPmΣf Ф(t )− λ Pm NPm (t )− σPm NPm (t )Ф(t ).

dt

Так как сечение радиационного захвата Pm сравнительно мало, то радиационным отжигом прометия часто пренебрегают. Кроме того, считается, что плотность потока нейтронов изменяется в переходном процессе до следующего уровня мощности очень быстро, как бы «скачком», что позволяет переписать последнее уравнение в более простом виде:

то есть скорость изменения концентрации Pm складывается из скорости накопления в виде осколка деления и скорости убыли из-за радиоактивного распада.

Дифференциальное уравнение изменения концентрации Sm очевидно согласно цепочке, можно записать следующем образом:

где учтены процесс накопления Sm из-за радиоактивного распада Pm и убыль Sm из-за радиационного отжига.

Решение системы (1.16)−(1.17) удобнее искать для произвольных начальных условий, которые представим как:

Это означает, что на какой-то момент изменения параметра процесса Ф до нового уровня мощности реактора N2 ~ Φ2 время принимается за нулевое значение, и ему будут соответствовать новые начальные значения концентраций NPm (0) и NSm (0), сложившиеся к этому моменту

перехода с мощности N1 ~ Φ1 на мощность N2 ~ Φ2 .

25

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ

Решения, полученные для произвольных начальных условий, удобны тем, что позволяют легко отстраивать частные закономерности для различных режимов работы реактора.

Таким образом, система уравнений (1.16)−(1.18) представляет собой математическую постановку задачи отравления 149Sm с произвольными начальными условиями.

1.6.3. Нахождение аналитического решения

Поскольку уравнения (1.16), (1.17) представляют собой нормальную систему неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, то воспользуемся известной методикой их решения (см. §1.5).

Если записать уравнение (1.16) в нормированном виде (1.14), то очевидно

и решение можно записать в общем виде (1.15)

NPm (t )= exp(−∫λ Pmdt ) ∫ pPmΣf Ф2 exp(∫λ Pmdt )dt +C .

После интегрирования получим:

Восстановим константу C , для чего последнее уравнение удовлетворим начальному условию (1.18)

NPm (0)= pPmΣfΦ2 + C = NPm (0),

λPm

откуда

C= NPm (0)− pPmΣfΦ2 .

λPm

26

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ

Покажем в качестве примера получение частного решения. Так в случае нулевых начальных условий

t = 0 NPm (0) = NSm (0) = 0, Φ =Φ2 ,

что соответствует условиям начала работы «свежего» или еще неработающего реактора, из уравнений (1.19), (1.20) получим:

Эти результаты согласуются с известными решениями [1] для режима пуска свежего реактора и позволяют довольно просто провести анализ процесса.

Прежде всего, следует убедиться, что решения удовлетворяют начальным условиям, т.е. при t = 0 . Затем проверить функцию на экстре-

мум. Очень важные данные следуют на асимптотике функции при t → ∞:

Эти так называемые равновесные концентрации можно найти и непосредственно из уравнений (1.16), (1.17), полагая dNPm dt =0 .

Получив аналитические решения задачи и проведя их анализ, следует результаты представить в виде графиков, удобных для оперативной работы.

28

29

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ

Можно видеть (см. рис.1.4), что за 1-й период времени, равный одному периоду полураспада нуклида распадется половина исходных ядер, за 2- й период – следующая половина оставшихся и т.д. Расчетные значения обозначены на графике рис.1.4 точками.

тивный период

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Пояснить составляющие уравнения изменения концентрации материнского радионуклида?

2.Из чего складывается скорость изменения концентрации i-того дочернего радионуклида?

3.Какие условия называются нулевыми?

4.Как будет выглядеть математическая постановка задачи, описанная уравнениями (1), (3), (4), (5), при наличии внешнего источника прибыли для n-1- радионуклида?

5.Какие уравнения называются неоднородными линейными уравнениями первого порядка?

30