PH_1_Lecture_1_2013
.pdf
|
|
|
|
|
eri erk |
= δik |
|
|
|
er2 |
= er2 |
= er2 |
=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
y |
z |
|
|
1,i = k |
|
|
|
(erxery ) |
= (ery erz )= (erz erx )= 0 |
δik = |
0,i ≠ k |
( |
i, k → x, y, z |
) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение – коммутативно:
ar br = a b cosα (a cosα) b = ab ba (b cosα)= a ba
Дистрибутивность скалярного произведенияr:
ar (b + cr +...)= ar b + ar cr +...
Скалярное произведение Æ через проекции перемножаемых векторов:
ar =a x erx + ay ey + az ez , ax = ar erx , a y = ar ery , az = ar erz
ar b = ax bx +ay by +az bz
Векторное произведение: [ar,b]≡ar×b =cr=a b sinα nr. |
|||
|
|
a |
a sinα |
|
|
|
α |
|
n |
|
b |
Принятые обозначения: |
|
- |
вектор – «от нас» (за плоскость рисунка) |
• |
- |
вектор – «на нас» |
|
n - единичный вектор нормали к плоскости, в которой лежат a и b , |
|||
направлен так, что тройка векторов a , b , n - образуют правовинтовую |
|||
систему. |
|
|
|
На рис.: n направлен «от нас», поворот от ar к b - по часовой стрелке. |
|||
Результат векторного произведения [ar,b]≡cr = a b sinα nr - ВЕКТОР, направлен по n .
Модуль векторного произведения (рис.) – площадь параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах
[ar,b] ≡ cr = a b sinα
Свойства векторного произведения
Векторы типа [ar,b]≡cr - псевдовекторы (аксиальные векторы), направление связано с направлением вращения (условие). Поэтому векторное произведение не коммутативно:
Векторное произведение дистрибутивно:
[ar, (b + cr + ...)]= [ar,b ]+[ar, cr]+ ... (1)
Частный случай: векторные произведения ортов декартовой системы координат:
[ex , ery ]= ez [ey , ez ]= ex [ez,ex ]= ey (2)
Векторное произведение - через проекции векторов на оси декартовой системы координат:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a = ax ex + ay ey + az ez |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b = bx erx +by ery +bz erz |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[ar,br]=[(a |
x |
er |
+a |
y |
er |
+a |
z |
er |
),(b er |
+b |
y |
er |
|
+b er )] |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z z |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
используем (1) и |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
[ar,b ]= (a |
b |
−a |
z |
b |
y |
) er −(a |
|
|
b |
|
−a |
z |
b |
x |
) er |
+ |
(a |
x |
b |
y |
−a |
y |
b |
x |
) er |
|||||||||||||||||
|
|
|
y z |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||||||||||
Удобная |
запись: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
erx |
|
|
ery |
|
erz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ar,br]= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
by |
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Самостоятельно:
Смешанное произведение векторов ar[b,cr]=rbr[cr,ar]=cr[ar,b] Двойное векторное произведение [ar,[b,cr]]=b(arcr)−cr(arb )
2. Производные векторов
Производная вектора
Пусть ar = ar(t), t - время. В декартовой системе
a(t)= ax (t ) ex + a y (t ) ey + az (t) ez .
За |
|
проекции получат приращения |
ax , ay , |
z az |
, а вектор - приращение |
||||||||
t |
|||||||||||||
|
|
ar = a |
x |
er |
+ |
a |
y |
er |
+ a |
z |
|
er |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
z |
|||
Скорость изменения вектора ar = ar(t) со временем (средняя скорость в течение t ):
ar |
|
a |
|
r |
|
ay |
r |
|
a |
|
r |
|
|
|||
|
= |
|
x e |
x |
+ |
|
e |
y |
+ |
|
z e |
z |
|
(*) |
||
t |
|
t |
|
|
||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||
Если ar(t) изменяется непрерывно, то при t → 0 (*) все точнее характеризует скорость изменения ar(t) в момент времени, предшествующий
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar |
|
|
|
a |
|
|
|
r |
|
|
|
|
ay |
r |
|
|
|
|
a |
|
r |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= lim |
|
x |
ex +lim |
|
|
|
ey +lim |
|
z |
ez |
|
(**) |
|||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
t →0 |
|
t →0 |
t |
|
|
t |
→0 |
|
|
|
t →0 |
t |
|
|
|
||||||||||
|
– производная вектора по времени |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(**) |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dar |
|
da |
x |
r |
|
day |
|
r |
|
da |
z |
|
r |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ex + |
|
|
|
|
|
ey |
+ |
|
|
ez |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Проекции вектора ddta Обозначения: производная по времени - точка над величиной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dar •r |
|
d 2ar •r• |
||
|
df |
|
• |
|
d 2 f |
|
•• |
|
|
|
||||
|
|
= |
f |
|
|
= |
f |
|
|
|
= a |
|
|
= a |
|
dt |
|
dt 2 |
|
|
dt |
|
dt2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому a•r = a•x erx + a•y ery + a•z erz . В случае радиус-вектора движущейся точки
rr(t)
|
r• |
• r |
• |
|
r • r |
|
|
|
r |
= x ex + y ey + z ez |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
• |
|
|
Дифференциал (приращение) функции: |
|
df = f dt |
|
||||
Дифференциал (приращение) вектора: |
|
da = dax ex + da y ey + daz erz |
|||||
Приращение функции и вектора за малый, но конечный промежуток времени t :
• |
t |
|
ar |
• |
f ≈ f |
|
≈ ar t |
||
|
|
|
|
|
Производная произведения скалярной и векторной функций:
b(t)= f (t) αr(t)= f αr
b = (f αr)= (f + f )(ar + ar)− f αr = f αr +αr f + f αr
|
|
|
|
|
• |
t +αr |
• |
t + |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
≈ f αr |
f |
f |
αr ( t)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
db |
= |
lim |
b |
= |
lim |
|
f |
dα |
+αr |
|
df |
+ |
|
df |
|
dα |
|
t |
|
|
|
t → 0 |
|||||||||||||||||||||||
При |
|
|
dt |
t |
|
dt |
|
dt |
dt |
|||||||||||||||
|
|
|
t →0 |
|
t →0 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1442443 |
|
14243 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от t не зависит |
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|||||
|
d |
r |
|
• |
• |
|
|
(f αr)= f dα |
+αr df |
≡ f αr |
+ f |
αr |
|
|
dt |
|||||
|
dt |
dt |
|
|
|
Аналогично, используя понятие приращения Æ формулы для производной и приращения скалярного произведения:
|
|
|
• |
|
• |
|
|
|
d |
(ar |
br)= ar br |
+ ar |
br |
|
d (ar b )= ar db +b dar |
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: |
(ar2 )= 2ar a•r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
d (ar2 )= 2ar dar = d (a2 ) , т.к. ar2 = a2 |
||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично получаем формулу для производной векторного произведения: |
|||||||||||
|
d |
r |
• |
r |
|
•r |
• |
r |
•r |
|
|
|
[ar, b |
]= ar |
, b + |
ar |
, b |
|
= ar×b |
+ ar×b |
|
||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Важный частный случай: производная единичного вектора |
|
||||||||||
ea (t) |
|
ea (t) |
Пусть ea |
- орт вектора a . По |
|||||||
|
ϕ |
определению, ea |
- единичный вектор: |
||||||||
|
|
|
|
может изменяться только по направлению. |
|||||||
π 2 |
ea (t + |
t) |
e e |
Пусть за |
|
t |
векторы a и ea |
||||
e |
|
|
|
поворачиваются на угол |
ϕ : |
||||||
|
|
|
Модуль вектора |
ea : |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
er |
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
er = |
|
er |
|
|
|
er |
|
ϕ er |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
, поэтому |
|
|
|
|
e |
, |
e |
- орт вектора |
|
|
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При |
|
|
|
ϕ → |
0 |
|
орт |
e e |
совпадет с |
|
e |
|
|
- единичным вектором, |
|
|
( ) |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ea t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
• |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dea |
|
|
|
|
ea |
|
|
|
ϕ |
er |
|
|
dϕ |
er |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
= lim |
e = |
|
|
|
|
|
er |
=ϕ er |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
t→0 |
|
t |
t→0 |
|
t |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ϕ• |
- угловая скорость вращения вектора |
|
, а |
|
- лежит в плоскости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь |
a |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вращения и направлен в сторону вращения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Задачи к ЛК-1: проверить (доказать) формулы векторной алгебры.
1.Смешанное произведение векторов ar[rb,cr]=b[cr,ar]=cr[ar,b]
2.Двойное векторное произведение [ar,[b,cr]]=b(arcr)−cr(arb )r