Г еометрический смысл производной

Здесь – угол наклона касательной к графику функции и точке . Через две точки и кривой проведем секущую , ее угловой коэффициент . Двигая точку по кривой к точке , мы будем поворачивать секущую вокруг точки , в результате секущая стремится занять положение касательной, проведенной к графику в точке, а угол стремится к углу – наклона касательной, т.е. ,

где – угловой коэффициент касательной. Известное уравнение прямой используем как уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , с угловым коэффициентом . Тогда уравнение касательной примет вид

(3)

Задача. Найти уравнение касательной к графику функции а) в точке , б) , в точке .

Решение. а) Сначала вычислим ординату точки касания . Затем производную в точке ,

. Это угловой коэффициент касательной.

Подставим найденные параметры в уравнение (3)

– искомая касательная;

б) кривая задана параметрически; найдем координаты точки касания, подставив значение параметра в уравнение кривой: , . Для отыскания углового коэффициента воспользуемся формулой , , теперь запишем уравнение касательной , или .

Дифференциал функции и формула приближенного вычисления

Определение. Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента , отличающаяся от соответственного приращения функции на величину более высокого порядка.

По определению производной: , откуда следует, что , где – бесконечно малая при , т. е. , тогда , где первое слагаемое и есть дифференциал

, , . (4)

Определение дифференциала позволяет использовать его в приближенных вычислениях, заменив вычисление функции ее дифференциалом. Рассмотрим приращение функции: , или , тогда

. (5)

Это и есть формула приближенного вычисления. Ошибка, получаемая при приближенных вычислениях, есть бесконечно малая высшего порядка, чем приращение аргумента, т. к.

.

Задача 1. Найти дифференциалы функций:

а) , б) , в) .

Решение: а) , найдем сначала и затем ;

б) , ;

в) , .

Задача 2. Найти приращение и дифференциал функции при и . Вычислить абсолютную и относительную ошибки, которые получаются при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение ,

;

Абсолютная ошибка , относительная ошибка

.

Задача 3. Вычислить приближенно а) , б) .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (5) надо составить функцию (по виду вычисляемого выражения) и выбрать начальные условия так, чтобы было мало, а можно было легко подсчитать. В случае а) выбираем , ,

, .

, ,

;

б) чтобы было мало, необходимо извлечь целую часть корня, т. е.

, откуда , , ,

, , ,теперь вычислим приближенно :

.

Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Производной второго порядка от функции называется производная от производной первого порядка и обозначается символом или , или .

Пример. , , .

Определение 2. Производной -го порядка называется производная первого порядка от производной -го порядка и обозначается или , или .

Пример. . Найти .

, , ! ,

! , используя метод математической индукции, запишем формулу производной -го порядка !

Определение 3. Дифференциалом высшего порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка:

, в частности , здесь .

Пример: . Найти .

, ;

Тогда .

Производная второго порядка от функции, заданной параметрически.

Если , то производные , , последовательно могут быть вычислены по формулам:

= , , и т. д.

Для производной второго порядка имеет место формула .

Пример. Найти от функции

Решение. Найдем сначала , ,

тогда , .

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших существует и равен пределу отношения их производных:

, если выполняются условия:

1. функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки и в этой окрестности.

2. 

(или ).

3. существует конечный или бесконечный.

Здесь может быть числом или одним из символов: .

Задача 1. Вычислить пределы: а) , б) .

Решение. а) Подставив предельное значение аргумента , получаем неопределенность , т.к. , и функции дифференцируемы.

Найдем .

б) При имеем неопределенность . Применим правило Лопиталя: . Полученный предел снова представляет неопределенность вида , применяя еще раз правило Лопиталя, найдем .

Другие виды неопределенностей , , можно свести к виду или .

Задача 2. Найти предел .

Решение. Подставим предельное значение аргумента, получим неопределенность , которая легко сводится к частному:

=

= .

Возрастание, убывание функции. Точки экстремума

Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке , если для любых этого промежутка ( ).

Функция возрастающая (убывающая) называется монотонной.

Теорема 1. (Условие монотонности)

Если функция 1) определена на , 2) имеет конечную производную на , тогда, чтобы была возрастающей (убывающей) на , необходимо и достаточно, чтобы ( ).

Задача 1. Найти интервалы монотонности функции .

Решение. Область определения функции дифференцируема всюду в области определения: .

Решим неравенство , ,

-это интервал возрастания функции.

Соответственно неравенство справедливо для всех – область убывания функции.

Определение 2. Точка называется точкой локального максимума (минимума), если в некоторой ее окрестности выполняется неравенство ( ) для всех этой окрестности.

Теорема 2. (Необходимое условие существования экстремума)

Если 1) определена в окрестности точки , 2) дифференцируема в точке и 3) имеет в ней локальный экстремум, то .

Точки, в которых производная называются критическими.

Замечание. Функция может иметь экстремум и в точках, где первая производная не существует. Например: Функция непрерывна в точке , но не дифференцируема т. к. односторонние пределы не равны, значит, не существует в точке , но функция имеет минимум.

Теорема 3. (Достаточное условие экстремума)

Если функция : 1) непрерывна в точке , 2) дифференцируема в некоторой области , 3) либо не существует и 4) при переходе через точку производная меняет знак, то – точка экстремума, причем, если производная слева от отрицательна, а справа положительна, то – точка минимума; если слева от производная положительна (функция возрастает) а справа отрицательна (функция убывает), то – точка максимума.

Замечание: в промежутке между критическими точками производная сохраняет знак, следовательно, это промежутки монотонности.

Теорема 4. (Исследование на экстремум с помощью второй производной или второе достаточное условие экстремума).

Если 1) в точке функция дифференцируема и , 2) существует вторая производная, 3) в окрестности , то при функция имеет минимум, а при – максимум.

Итак, при исследовании функции на экстремум необходимо пользоваться правилами:

1. Найти первую производную

2. Найти критические точки , решив уравнения и .

3. Проверить, меняет ли знак первая производная при переходе через точку или установить знак второй производной , классифицировать экстремум.

4. Найти значение функции в экстремальных точках.

Задача. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Область определения ,

, при . Это значение не принадлежит области определения функции. Значит, – единственная критическая точка. Проверим знак первой производной слева и справа от нее.

При , , функция возрастает, при , функция убывает, значит – точка максимума, – максимальное значение функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает на нем наибольшее и наименьшее значения. Эти значения находятся либо на концах промежутка, либо в экстремальных точках.