Второй замечательный предел

Для раскрытия неопределенностей вида используют предел

Пример. Найти .

Решение.

Очевидно, что

Таким образом, имеем неопределенность . Воспользуемся вторым замечательным пределом, для этого преобразуем сначала выражение, стоящее в скобках, а именно, добавим и вычтем единицу

Теперь показатель степени домножим и разделим на дробь ,

получим .

Перейдем к пределу при

так как

Непрерывность функций

Определение 1. Функция с областью определения называется непрерывной в точке , если выполнены следующие условия:

1. функция определена в точке , т.е. ;

2. существует ;

3. 

Условие пункта 2 эквивалентно существованию равных односторонних пределов функции в точке , т.е.

Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1−3, то точка называется точкой разрыва функции .

При исследовании функции на непрерывность пользуются следующей теоремой:

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Определение 2. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , где , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Следовательно, функция может иметь разрыв в точках, где она меняет способ своего задания или не определена.

Существуют следующие виды точек разрыва.

1

. Если в точке существует конечный

предел функции , но он не равен значению

функции в этой точке, т.е.

то такая точка называется точкой

разрыва I рода (устранимый разрыв).

2. Точка называется точкой разрыва I рода

(точка скачка) функции , если

в этой точке существуют конечные

односторонние пределы функции

,

но они не равны между собой.

3.Точка называется точкой разрыва II рода или точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен бесконечности .

Пример. Исследовать функции на непрерывность, найти точки разрыва и определить их тип:

а)

Данная функция определена на всей числовой оси. Она задана двумя различными формулами для интервалов и и может иметь разрыв в точке , где меняется способ ее задания. Найдем односторонние пределы в точке :

так как слева от точки функция

так как справа от точки функция .

Таким образом, в точке функция имеет конечные односторонние пределы, но они не равны между собой . Следовательно, - точка разрыва I рода (точка скачка). Во всех остальных точках числовой оси данная функция непрерывна, так как формулы, которыми она задана определяют элементарные непрерывные функции. Построим график этой функции.

б)

Функция определена для всех значений кроме

и . Эта функция элементарная, значит, она непрерывна во всей области своего определения . В точках и функция имеет разрывы, так как нарушается первое условие непрерывности. Чтобы определить характер разрыва в этих точках, найдем односторонние пределы

Поскольку все односторонние пределы равны бесконечности, функция терпит в точках и разрывы II рода. Построим график функции

в) .

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Из этого следует, что в точке функция имеет разрыв. Найдем односторонние пределы

Так как предел справа в точке равен бесконечности, заключаем, что – точка разрыва II рода. Построим график функции