Основные правила дифференцирования

Если =соnst, а функции , дифференцируемы, то

1. 4. ;

2. ; 5. ;

3. ; 6. .

Таблица производных основных элементарных функций

1. ; 10. ;

2. , ; 11. ;

3. ; 12. ;

4. ; 13. ;

5. ; 14. ;

6. ; 15. ;

7. ; 16. ;

8. ; 17. ;

9. ; 18. .

Правило дифференцирования сложной функции

Если и , т. е. , где и имеют производные, то . Здесь – промежуточный аргумент. Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.

Задача 2. Найти производные функций:

а) , б) , в) , г) .

Решение: а) представим функцию в табличной форме как сумму степенных функций и затем только найдем производную.

,

.

б) введем промежуточный аргумент и затем воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

, , =3 ;

в) пусть , где , тогда ,

= = .

Окончательно: , ;

г) правило 4 можно распространить на любое число сомножителей, если перемножаемые функции дифференцируемы.

, , в данном случае

, , , ,

, ,

.

Дифференцирование сложной показательно-степенной функции . Логарифмическое дифференцирование

Пусть и – дифференцируемые функции. Чтобы найти производную функции предварительно прологарифмируем ее по основанию : , теперь воспользуемся правилом 3 и 6

, откуда (1)

Задача 3. Найти производные функций а) , б)

Решение: а) воспользуемся формулой (1): Пусть , , найдем , и подставим в формулу (1):

б) сначала прологарифмируем . Дифференцируя левую и правую части равенства, получим:

, теперь найдем

= .

Метод, основанный на предварительном логарифмировании функции, не требует запоминания формулы и имеет более широкий спектр применения, в частности при дифференцировании большого количества сомножителей.

Задача 4. Найти производные функций:

а) , б) .

Решение: а) воспользуемся свойствами логарифмической функции:

, , , .

Итак, , ,

.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если зависимость функции и аргумента задана посредством параметра : , то , или . (2)

Пример 1. Найти , если , . Это параметрические уравнения окружности с центром в начале координат и радиуса .

Решение. Находим и .

Отсюда .

Пример 2. Найти от функции: , .

Решение: , ,теперь по формуле (2)

найдем .

Производная неявной функции

Пусть уравнение не разрешено относительно функции , т.е. функция задана неявно. Чтобы найти производную , надо продифференцировать левую и правую часть уравнения, учитывая, что есть функция аргумента . Рассмотрим это правило на примерах.

Пример 1. Найти , если а) , б) .

Решение: а) , выразив , получим . ;

б) дифференцируя обе части этого уравнения, получим уравнение относительно : , ;найдем теперь .