Непрерывные случайные величины

1. Случайная величина ξ задана своей плотностью распределения:

Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (1,9;3). Построить графики функций f(x), F(x).

3.4°. Плотность распределения случайной величины g задана формулами:

_% Рх(х)=С/х⁴ при х>1;

р\(х)= 0 при х < 1.

Найти: а) постоянную С; б) плотность распределения Т1 = 1/|; в) P{0,l<ii<0,3>.

Найти мат.ожидание и дисперсию показательного распределения.

Правило трех сигм для нормального, показательного и равномерного распределений

3.8°. Случайная точка В имеет равномерное распреде­ление на окружности х² Ч-(у — а)² = г² с центром в точке А=(0, а), а случайная точка C = (g, 0) является пере­сечением оси абсцисс с прямой, проходящей через А и В. Найти функцию распределения и плотность распределе­ния случайной величины g. (Распределение g называ­ется распределением Ноши.)

3.5°. Случайная величина | имеет показательное рас­пределение с параметром a: P{g < х} = 1 — е~^ах (х>0). Найти плотности распределения случайных величин:

а) = Vg; б) У]2 = g²; и) Щ = 4"^ln ^■

3.7°. Случайная величина g равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Найти плотности распределения вели­чин: a) rii = 2£ Ч- 1; б) г)₂ - -ln(l - g).

Двумерные непрерывные случайные величины

393. Система (х, у) распределена равномерно в треугольнике, ограниченном прямыми х = 0, у = 0 и х + у — а, где а > 0.

     1. Найдите: а) плотность вероятности / (я, у) системы (х, у); б) функцию распределения F (.х, у); в) плотности вероятности /t (я) и /₂ (у) величин х и у в отдельности; г) функции распределе­ния F1 (х) и F₂ (у) величин х и у в отдельности; д) вероятность со­бытия X² + у² < — .

^J 4

2. Являются ли х и у зависимыми?

393. Система (х, у) равномерно распределена в квадрате со стороной а> диагонали которого принадлежат осями координат.

     1. Найдите: а) плотность вероятности системы; б) функцию распределения системы; в) плотности вероятности случайных вели­чин х и у в отдельности; г) р (х ^ 0, у ^ 0).

     2. Зависимы или нет величины х и у?

408. Система 2 случайных величин (х, у) имеет плотность веро­ятности

f(*. У)

1 + (X² + у²)²

Требуется: а) определить коэффициент а; б) найти радиус кру­га с центром в начале координат, вероятность попадания (х, у) в который равна 0,5.

3.26°. Случайные величины | и ц независимы и име­ют равномерное распределение на отрезке [0, а]. Найти плотности распределения случайных величин: а) | + б) 6-п; в) г) g/tj.

24.15. Случайные величины ξ и $\eta$ независимы и имеют показательные распределения с плотностями, соответственно,

$f_\xi(x)=2e^{-2x}, (x\geqslant 0)$ и $f_\eta(y)=3e^{-3y}, (y\geqslant 0)$. Найти плотность распределения случайной величины

$\zeta=\frac{2ξ +\eta}{ ξ+3\eta}$. %15

\firstpiece

Найти вероятность попадания случайной точки $(\xi, \eta)$, имеющей сферически симметричное нормальное распределение с дисперсиями $D\xi=D\eta=3$ в треугольник с координатами

$(-3; 3), (0; 3), (-3; 0)$.