+

Классическая вероятность

1. Из ящика, содержащего три билета с номерами 1, 2, 3, вынимают по одному все билеты. Предполагается, что все последовательности номеров билетов имеют одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что хотя бы у одного билета порядковый номер совпадает с его собственным.

2. Брошено три монеты. Предполагая, что элементарные события равновероятны, найти вероятности событий:

А = {первая монета выпала «гербом» вверх),

В = {выпало ровно два «герба»),

С = {выпало не больше двух «гербов»}.

3. Брошено 50 монет. Найти вероятности событий из предыдущей задачи.

4. Колода из 36 карт хорошо перемешана (т. е. все возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий:

А = {четыре туза расположены рядом),

В = {места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7}.

5. Из 30 чисел {1, 2, ..29, 30} случайно отбирается 10 различных чисел. Найти вероятности событий:

А = {все числа нечетные},

В = {ровно 5 чисел делится на 3},

С = {5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно одно число делится на 10}.

6. Участник лотереи «6 из 49» на первой карточке отметил номера (4, 12, 20, 31, 32, 33), а на второй — (4, 12, 20, 41, 42, 43). Найти вероятность того, что участник получит ровно два минимальных выигрыша, т. е. что каждый из этих наборов имеет ровно 3 общих элемента с набором выигравших номеров при розыгрыше тиража.

Геометрическая вероятность

7. Отрезок длины d случайным образом разрезается в двух точках (на три части). С какой вероятностью из этих частей можно составить треугольник?

8. Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной 1. Найти вероятности следующих событий:

а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит x;

б) расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превосходит x.

9. В интервале времени [0, T] в случайный момент u появляется сигнал длительности d. Приемник включается в случайный момент v из [0, T] на время l. Найти вероятность обнаружения сигнала.

10. Парадокс Бертрана. В круге радиуса R случайно проводится хорда. Обозначим z ее длину. Найти вероятность P{z > x}, если середина хорды равномерно распределена в круге.

Результат зависит от того, как понимать слово «случайно». См. задачи далее.

11. Решить задачу 10, если направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на фиксированном диаметре, перпендикулярном ее направлению.

12. Решить задачу 10, если один конец хорды закреплен, а другой равномерно распределен на окружности.

13. На паркет, составленный из правильных f-угольников со стороной а, случайно бросается монета радиуса r. Найти вероятность того, что упавшая монета не заденет границу ни одного из f-угольников паркета для: а) f = 3; б) f=4.

14. Точка (с, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Найдите вероятность того, что корни уравнения х² + сх + q = 0 окажутся действительными и одного знака.

15. (Задача Бюффона.) Плоскость разграфлена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На эту плоскость наудачу брошена игла длиной 2l (l < а). Найдите вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.