Независимость событий

27. Из колоды карт случайным образом извлекается карта. Событие A={извлеченная карта – туз}, событие B={извлеченная карта бубновой масти}. Зависимы ли события A и B?

1. Колода – 52 карты;

2. Колода – 52 карты + джокер (всего 53).

28. Игральная кость брошена 2 раза, Х₁ и Х₂ — числа очков, выпавшие при этих испытаниях. Рассмотрим события А_N = {X₁ + Х₂ делится на N нацело}. Зависимы ли события А₂ и А₃ , А₃ и А₄?

Последовательность испытаний.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ.

29. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено, б) содержит ровно 3 искажения, в) содержит не более трех искажений?

30. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два раза выпадет по три единицы.

31. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три «герба».

32. Найти вероятность того, что в 2n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q = 1 – р появится т + п успехов и все испытания с четными номерами закончатся успехом.

33. Каждую секунду с вероятностью р независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомашина. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 с. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможности перехода: а) 3 с; б) 4 с; в) 5 с?

46. Движением частицы по целым точкам прямой управляет схема Бернулли с вероятностью р исхода 1: если в данном испытании схемы Бернулли появилась 1, то частица из своего положения переходит в правую соседнюю точку, а в противном случае — в левую. Найти вероятность того, что за n шагов частица из точки 0 перейдет в точку m.

47. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, кто первым получит «герб». Найти вероятности событий:

а) игра закончится до 4-го бросания;

б) выиграет начавший игру (первый игрок);

в) выиграет второй игрок.

48. В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал б очков (выигрыш — 1 очко, проигрыш и ничья — 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает k очков, k — 0, 1, ..., 5.

Полиномиальная схема

34. При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью 0,7, получает легкое повреждение с вероятностью 0,2 и полностью ломается с вероятностью 0,1. Два легких повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении 10 порогов байдарка не будет полностью сломана.

35. Сообщения, передаваемые по каналу связи, составляются из трех знаков А, В, С. Из-за помех каждый знак принимается правильно с вероятностью 0,6 и принимается ошибочно за любой из двух других знаков с вероятностью 0,2. Для увеличения вероятности правильного приема каждый знак передается 5 раз. За переданный знак принимается знак, который чаще всего встречается в принятой пятерке знаков. Если наиболее частых знака два, то из них выбирается равновероятно один. Найти вероятность правильного приема знака при указанном способе передачи.

36. Отрезок [0, 10] точками 1, 2, 3, 4, 7 разделен на 4 отрезка длины 1 и 2 отрезка длины 3. Пусть A₁, …, A₈ — независимые случайные точки, имеющие равномерное распределение на отрезке [0, 10]. Какова вероятность того, что из этих точек в два каких-либо отрезка длиной 1 попадет по 2 точки, а в каждый из оставшихся отрезков — по одной точке?

37. Игрок А подбрасывает 3 игральные кости, а игрок В — 2 кости. Эти испытания они проводят вместе и последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на одной кости. Найти вероятности событий:

а) А = {впервые «6» появилось у игрока А, а не В};

б) В = {впервые «6» появилось у игрока В, а не А};

в) С = {впервые «6» появилось одновременно у А и В}.