Предельные теоремы в схеме бернулли

38. По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0,005. Найти приближенное значение вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.

39. В таблице случайных чисел цифры сгруппированы по две. Найти приближенное значение вероятности того, что среди 100 пар пара 09 встретится не менее двух раз.

40. Найти приближенное значение вероятности того, что число «девяток» среди 10000 случайных чисел заключено между 940 и 1060.

41. На одной странице 2400 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 1/800. Найти приближенное значение вероятности того, что на странице не менее двух опечаток.

42. Из таблицы случайных чисел отбирают числа, делящиеся на 3, до тех пор, пока не наберется 1025 таких чисел. Найти приближенное значение вероятности того, что потребуется таблица, содержащая не меньше 2500 чисел.

43. По каналу связи передаются сообщения из нулей и единиц. Из-за помех вероятность правильной передачи знака равна 0,55. Для повышения вероятности правильной передачи каждый знак сообщения повторяют n раз. Полагают, что последовательности из n принятых знаков в сообщении соответствует знак, составляющий в ней большинство. Подобрать n так, чтобы вероятность правильной передачи знака была не меньше 0,99.

44. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Зрители приходят поодиночке и выбирают оба входа с равными вероятностями.

45. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки).

Дискретные случайные величины

1. Случайная величина ξ – число, выпавшее на игральной кости. Записать закон распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

2. Сколько в среднем выигрывает в казино игрок, ставящий один доллар на красное?

3. Случайная величина ξ – сумма чисел, выпавших на двух игральных костях. Записать закон распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4. Из урны содержащей 3 белых и 5 черных шара вытаскивается 4 шара. Случайная величина ξ – число вынутых белых шаров. Записать закон распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

5. В одной урне четыре шара, в другой – три шара. На каждом шаре отмечено число очков от одного до четырех для первой урны и от одного до трех – для второй. Из каждой урны наугад извлекают по одному шару. Составить закон распределения суммы очков на вынутых шарах. Найти математическое ожидание, дисперсию этой случайной величины.

6. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока каждого из трех узлов прибора равны соответственно 0,2; 0,3; 0,1; CB ξ – число узлов, вышедших из строя в течение гарантийного срока. Найти закон распределения и функцию распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Построить график функции распределения.

7. Распределение случайной величины ξ определяется формулами P(ξ=m) = C/m(m+1), m=1, 2, … Найти: а) постоянную С; б) Р{ξ <n+1}.

8. Найти математическое ожидание СВ имеющей пуассоновское распределение P(ξ=m) = λ^me^-λ/m!, m=0, 1, 2, …

9. Найти математическое ожидание СВ имеющей распределение P(ξ=m) = 4/m(m+1)(m+2), m=1, 2, …

10. Найти математическое ожидание СВ имеющей биномиальное распределение P(ξ=m) = ,m=0, 1, 2, …, n.

11. Найти закон распределения дискретной случайной величины ξ, принимающей два возможных значения x₁ и x₂; если x₁ < x₂, M(ξ) = 2,4, D(ξ) = 0,24, вероятность возможного значения x₁ равна p₁ = 0,6.

12. Охотник попадает в зайца с вероятностью 0,2. Сколько в среднем выстрелов ему потребуется, чтобы попасть в зайца?

4	×	×	×	×
3		×		×
2	×	×		×
1	×	×		×
	а	б	в	г

13. При игре в морской бой сложилась следующая ситуация (см. поле кораблей противника на рис.). Известно, что у противника осталось 2 однопалубных корабля. Разработать эффективную стратегию игры (указать критерий эффективности и план действий: в какую клетку следует стрелять в первую очередь и т.д.).

14. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами:

Х	1	2	3	4		У	2	4	6
Р	0,2	0,3	0,4	0,1		Р	0,6	0,2	0,2

Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и найдите их математическое ожидание и дисперсию.

15. Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зависимости случайных величин Х и У.

х у	1	2	3
1	0,09	0,04	0,03
3	0,08	0,21	0,04
8	0,03	0,15	0,21
10	0,01	0,05	0,06

16. Из коробки, в которой 4 красных, 2 синих и 3 зеленых ка­рандаша, наудачу извлекли 3 карандаша. Пусть х — число крас­ных, а у — число синих карандашей среди извлеченных.

1. Найдите: а) закон распределения системы (х, у); б) законы распределения х и у в отдельности; в) закон распределения х при условии, что у = 1; г) вероятность события (х < 3, у = 2).

2. Являются ли х и у зависимыми?