Лекция № 2. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И
МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
Траектории заряженных частиц в однородных электрическом и магнитном полях. Отклонение и фокусировка заряженных частиц в постоянном электрическом поле. Фокусировка в плоском и цилиндрическом конденсаторах. Электростатические энергоанализаторы. Фокусировка электронных траекторий при движении вдоль магнитного поля и перпендикулярно ему.
Уравнение движения для частицы в электрическом и магнитном поле:
mdV / dt qE (q / c)[VH ]
,где m, q, V – масса, заряд, скорость заряженной частицы, E – напряженность электрического поля, H – напряженность магнитного поля. Уравнение движения записано в гауссовой системе (присутствует множитель 1/c, где с скорость света).
|
|
|
|
|
|
Система Си |
Закон Кулона |
F= |
1 |
|
q1q2 |
, где 0 =0.885 10-11Ф/м |
|
|
4 0 |
|
r 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
[F]=H |
Электричеcкий заряд |
|
|
|
|
|
[q]=Кл |
|
|
Заряд электрона e=1.6 10-19 Кл |
||||
Напряженность |
|
|
|
|
|
E=F/q |
электрического поля |
|
|
|
|
|
[E] =В/м |
Электрический ток |
|
|
|
|
|
[I] = А |
Напряженность |
H=I/(2R) |
магнитного поля |
[H]=А/м |
Магнитная индукция |
B= 0 H |
=4 10-7 |
–магнитная постоянная, |
0 |
[В]=Тл |
|
Гауссова система
F= q1q2
[F]=дин,r 2 1Н=105дин
[q]=СГСЭ-ед.заряда 1Кл=3 109СГСЭ-ед.заряда
E=F/q
[E]=СГСЭ ед.
1 СГСЭ ед.=3 104В/м
[I] =СГСЭ-ед.разряда 1А=3 109СГСЭ-ед.разряда
H=2 I/(cR)
[H]=Э 1А/м=4 10-3Э
B= H
- магнитная проницаемость среды (в вакууме =1), [ ]=Г/м
[B]=Гс, 1Тл =104Гс
Однородное ускоряющее электрическое поле.
Рассмотрим ускорение электронов в однородном электрическом поле Траектория электрона описывается уравнением: me &x eE
(по прежнему e – модуль заряда электрона), |
|||||
тогда , |
|
. |
|
eE |
t W |
|
x |
|
|||
где W |
m V 2 |
|
me |
0 |
|
|
|
||||
e |
0 - начальная энергия электрона. |
||||
0 |
2 |
|
|
|
|
Будем считать, что электроны выходят с катода с
нулевой начальной скоростью. Это предположение оправдано, так как начальная энергия термоэлектронов, как будет показано позднее, равна , где - температура катода, которая не может быть более 4000 К. Учитывая, что температура в 11600 К соответствует 1 эВ, следовательно, начальная энергия не более 0.3 эВ. Прикладываемое ускоряющее напряжение как правило более 100 В, следовательно начальная энергия электронов пренебрежимо мала по сравнению с приобретаемой в ускоряющем электрическом поле. Зависимость
координаты от времени: 1 eE x 2 me t2
E
e
1 
x
2 1
U a 1 2
Схема электронной пушки.
Ускорение при старте под углом к полю.
Рассмотрим случай, когда начальная скорость электрона , влетающего в промежуток с ускоряющим электрическим полем, не
пренебрежимо мала и направлена под углом к полю |
||
(рис.2.2). Система уравнений для траектории |
||
частицы имеет вид: |
{y |
x V0 sin t |
1 eE t2 V cos t |
||
|
|
0 |
|
|
2 me |
Выразив время из первого уравнения системы и |
|||||||||
подставив во второе, получим уравнение для |
|||||||||
траектории: |
y x |
1 eE |
x2 |
|
|
|
V |
cos |
x |
|
|
|
|
0 |
|
||||
2 m V sin |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
V sin |
|
||||
|
|
e |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
y |
|
|
E |
V0 x
Ускорение под углом к полю.
Соотношение описывает квадратичную зависимость. Следовательно, траектория будет параболой, положение вершины которой зависит от угла влета .
Однородное тормозящее электрическое поле.
Электронный пучок, который до этого был ускорен до |
||||||||
некоторой энергии и выполнил некоторую функцию |
||||||||
(например, пропущенный через плазмохимический |
||||||||
реактор), направляется в систему торможения .Такая |
||||||||
система торможения, получившая название |
|
|
|
|||||
рекуператора энергии, имеет техническое |
|
|
|
|
||||
применение, когда необходимо преобразовать |
||||||||
кинетическую энергию заряженных частиц в |
|
|
|
|||||
потенциальную (рекуперировать), вернув ее таким |
||||||||
образом в накопитель. Электроны влетают в |
, где |
|||||||
промежуток с некоторой начальной энергией |
||||||||
-потенциал, в котором электроны были ускорены до |
||||||||
входа в систему торможения. По мере движения к |
||||||||
коллектору электроны теряют скорость, «забираясь» |
||||||||
на все поле «высокий» потенциал, придя на |
|
|
|
|||||
коллектор электроны отдают свой заряд в |
|
|
|
|
||||
накопитель. Для того, чтобы электроны полностью |
||||||||
потеряли кинетическую энергию и пришли на |
||||||||
коллектор с нулевой скоростью, необходимо, чтобы |
||||||||
тормозящий потенциал был равен |
U |
|
|
|
Wk 0 |
|||
|
|
a |
|
2 |
1 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема рекуператора энергии.
. Торможение и фокусировка под углом к электрическому полю.
• Рассмотрим торможение под углом к |
|
|
|
|
полю Траектория будет описываться |
|
|
|
|
зависимостью, аналогичной с той лишь |
|
|||
разницей, что электрическое поле имеет |
|
|||
противоположный знак: |
x |
2 |
|
|
y x 1 eE |
|
|
ctg x |
|
|
|
|
||
2 m V 2 sin2 |
|
|||
e |
0 |
|
|
|
E |
y |
V |
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
xm |
Торможение электронов |
||
под углом к полю. |
||
То есть траектория тоже является параболой, но ее ветви направлены |
|
|
|||||||||||
вниз. Положение вершины параболы определяется из соотношения: |
mV0 cost |
|
|||||||||||
Тогда координата вершины параболы: |
|
. |
|
|
|
eE |
t 0 |
|
tm |
. |
|||
|
y V0 cos |
m |
|
|
eE |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
W |
|
|||||
|
|
|
|
|
mV |
|
|
||||||
x |
V |
sin t |
m |
|
|
0 |
|
sin 2 |
|
к0 |
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
m |
0 |
|
|
2eE |
|
|
eE |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Предположим, что входящий пучок электронов имеет угловой разброс . Если угол влета пучка будет равен , то для верхнего граничного электрона вершина параболы будет находиться в точке:
|
/ |
|
W |
|
|
|
W |
|
|
|
2 |
|
W |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
x |
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
m |
|
eE |
|
4 |
|
2 |
|
eE |
|
|
2 |
|
eE |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рекуператор немоноэнергетического пучка.
Часто возникает необходимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ym xm |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
рекуперировать энергию пучка, заряженные частицы |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которого имеют разброс по энергиям. Следовательно |
|
|
|
V0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
необходимо, чтобы частица с разными энергиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
приходили на электроды, находящиеся на разной |
|
|
|
0 |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высоте Требуется найти геометрию электродной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
// |
|
/// |
||||||||||
системы торможения, то есть, под каким углом |
|
|
|
Торможение |
xm |
xm |
|||||||||||
необходимо произвести «срез» электродов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
немоноэнергетичного пучка |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
электронов.
Координата вершины параболы траектории электрона определяется соотношение, координата ym определяется из соотношения:
|
|
|
|
y |
m |
eE W |
cos2 |
|
|
|
|
|
к 0 |
|
|
Тогда y |
m |
|
1 ctg x |
|
|
|
|
|
|
2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть, вершины парабол лежат на прямой, наклоненной к поверхности |
||
входного электрода под углом, равным |
arctg( |
1 ctg ) |
|
|
2 |
Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.
Рассмотрим случай постоянного во времени и
однородного в пространстве На движущуюся частицу |
||||||||
зарядом в магнитном поле действует сила Лоренца |
||||||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
V H |
|
||
Уравнение движения домножим скалярно на скорость |
||||||||
|
|
|
л |
c |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
r r |
|
|
Правая часть будет. |
равна нулю, следовательно |
|||||||
|
|
|
mV q V H | V |
|
||||
|
|
|
|
то етсь |
|
|||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
mV 2 |
|
|
|
mV 2 |
||
|
|
( |
2 ) 0 |
|
|
|
|
const |
|
t |
|
|
|
2 |
|||
H |
Fл |
Fл |
i |
rле |
|
Fц |
F |
|
rлi |
ц |
|
|
|
|
Вращение заряженных частиц в магнитном поле.
Разобьем скорость частицы на две составляющие вдоль и поперек поля. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вдоль поля частица движется как свободная. |
F |
|
|
V |
H |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
c |
|| |
|
|
|
.. |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|||||
Уравнение для поперечной составляющей: |
|
|
|
|
|
т.е., |
|
|
|
qH |
|||
mV c V H |
|
r mc r |
|||||||||||
.. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение r л r описывает вращение по окружности с частотой |
л |
mc |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
называемой ларморовской (циклотронной). Ларморовская частота не |
|
|
|
||||||||||
зависит от энергии частицы.
Отклонение и фокусировка пучка заряженных частиц в электрическом и магнитном поле.
Наиболее простой является система в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
||||||||
плоского конденсатора. Пусть пучок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
электронов запускается параллельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
пластинам найдем угол отклонения пучка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
x |
||||||||||
в зависимости от энергии частиц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поперечная скорость, приобретаемая в |
|
|
eE |
|
eE |
|
|
l |
|
откл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
отклоняющем электрическом поле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отклонение электронного |
|||||||||||||||||||
V |
m |
tпр m V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Тангенс угла вылета электрона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
пучка в поле плоского |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
e |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
конденсатора. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
V |
|
|
|
eE |
|
eUоткл |
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
tg V |
|
|
|
|
|
l 2W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
mV 2 |
|
K 0 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 eE |
2 |
|
|
1 eE l 2 |
||||||
Поперечное смещение электрона в пределах отклоняющей системы: |
|
y1 |
|
|
|
|
|
tпр |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
m |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 m V0 |
||||||
Поперечное смещение на расстоянии x от центра системы определяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
соотношением: |
eUоткл |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y x tg 2W |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
к 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фокусировка пучка в продольном однородном магнитном поле.
В продольном однородном магнитном поле фокусировка происходит в силу того, что вышедшие из одной точки частицы после совершения одного оборота по ларморовской окружности возвращаются на исходную силовую линию магнитного поля Проекция движения частиц на перпендикулярную к силовым линиям плоскость представляет собой пучок окружностей, имеющих общую точку. Если угол расходимости пучка невелик, то фокусировка моноэнергетического пучка произойдет через один оборот на расстоянии l = tлVcos 2 mVc/(eH), где tл = 2 mc/(eH) – период вращения по ларморовской окружности. Таким образом, расстояние до места фокусировки пучка зависит от скорости и массы частиц, и продольное однородное магнитное поле может быть использовано для энерго- и масс-сепарации частиц.