10
полная энергия релятивистской частицы |
E |
|
|
|
m0c2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 v2 |
/c2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
релятивистский импульс |
|
|
|
|
m0v |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 v2/c2 |
|
|
|
|
|
||||
кинетическая энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ek E E0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
релятивистской частицы |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
m |
0 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
1 v |
/c |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
релятивистское соотношение между |
E2 pc2 |
E02 |
|
|
|
|
|
|||||
полной энергией и импульсом |
|
|
|
|
|
|||||||
теорема сложения скоростей |
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|
|
||
в релятивистской механике |
u |
|
, |
|
|
|||||||
1 u v/c2 |
|
|
|
|||||||||
где u и u скорости в двух инерциальных системах координат, движущихся относительно друг друга со скоростью v ; если v совпадает по направлению с u , то берется знак « », если v направлена противоположно u , то берется знак «+».
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Материальная точка массой m = 4 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного
точкой, от времени задана уравнением s t2 3t 5. Определить работу силы за 5 с с начала действия силы и зависимость кинетической энергии от времени.
Д а н о:
|
m = 4 кг; |
|
|
|
|
|
|
s t2 3t 5; |
|
|
|
|
|
|
t = 5 c. |
|
|
|
|
|
Н а й т и: |
А, ЕК = f(t). |
|
|
|
|
|
Решение. |
Работа, совершаемая силой |
|
|
|
||
|
A 2 |
F ds . |
|
|
(1) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна |
|
|||||
|
F ma |
или F m |
d2s |
. |
(2) |
|
|
dt2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенное значение ускорения |
определяется |
первой производной |
от |
|||
скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим имеем
v ds |
2t 3; |
(3) |
dt |
|
|
|
|
11 |
|
|
||
a dv |
d2s 2 м/c2 . |
(4) |
||||
dt |
dt |
2 |
|
|||
Тогда |
|
d2s |
|
|
||
F m |
2m . |
(5) |
||||
dt2 |
||||||
Из выражения (3) определим ds: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
ds (2t 3)dt . |
(6) |
|||||
Подставив выражения (5) и (6) в уравнение (1), получим |
|
|||||
A t |
2m(2t 3)dt. |
(7) |
||||
0
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 5 с с начала ее действия:
|
5 |
|
|
|
4t |
2 |
|
5 |
|
5 |
|
|
A |
|
(4mt |
6m) |
|
6t |
4 (2 25 6 5) Дж 320 Дж. |
||||||
dt m |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия поступательного движения определяется по формуле
|
|
|
EK |
mv2 |
. |
|
|
|
(8) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в это выражение (3), имеем |
|
|
|
|
|
||||
EK |
m(2t 3)2 |
m(4t2 12t 9) |
m(2t |
2 |
6t |
4,5). |
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т: А= 320 Дж; |
EK m(2t2 6t 4,5) . |
|
|
|
|||||
Пример 2. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол = 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Д а н о: m1 = 0,5 кг, m2=1 кг,
= 60°,
l= 0,8 м.
На й т и: h; EK.
Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью u. Закон сохранения импульса при этом ударе имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m1v1 m2 v2 |
(m1 m2 )u . |
(1) |
||||||||
|
Здесь v1 и v2 скорости шаров до удара. Скорость большого шара до |
||||||||||||||||
удара равна нулю (v2 = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон |
|||||||||||||||||
сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол (рис. 1) ему |
|||||||||||||||||
сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: |
|||||||||||||||||
|
|
|
m gh |
|
|
m |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h1 l(1 cosβ) 2l sin2 (β/ 2) , |
|
|
|
l |
l |
||||||||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v1 |
2gh1 2 |
|
gl sin(β/2) . |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
l cos |
m1 |
||||
|
|
Из уравнений (1) и (2) находим |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
скорость u |
шаров после удара: |
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
||||||||
|
|
|
2m1 |
gl sin (β) |
|
|
|
|
|
v1 |
|
||||||
|
|
m1v |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
u |
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
(3) |
|
|
m2 |
m1 |
|
|||
|
|
|
|
m1 m2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
m1 m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Кинетическая энергия, |
которой |
|
|
|
Рис. 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
обладают шары после удара, перехо- |
|
|
|
|
|
||||||||||||
дит в потенциальную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(m |
|
m |
|
)u2 |
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
(m1 m2 )gh , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где h высота, на которую поднимутся шары после столкновения. |
|||||||||||||||||
|
Из формулы (4) находим |
|
|
|
u2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2g |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Или с учетом выражения (3), получим |
|
|
||||||||||||||
|
2m |
2 |
l sin2 ( |
β) |
|
|
h |
|
1 |
|
2 |
. |
(5) |
|
|
|
|
|||
|
(m1 m2 )2 |
|
||||
При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:
E |
m |
v2 |
|
(m |
m |
)u2 |
(6) |
1 |
1 |
1 |
2 |
. |
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
13
Используя соотношения (2) и (3), получим
|
|
|
m1 |
|
sin(β) . |
|
|
E 2m gl 1 |
|
|
(7) |
||||
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
m1 m2 |
|
|||
Производим вычисления:
h 2(0,5 кг)2 0,8м 0,25/(0,5 кг 1кг)2 0,044 м.
E = 2 0,5 кг 9,81 м/c2 0,8 м (1 0,5 кг/1,5 кг) 0,25 = 1,3 Дж. О т в е т: h = 0,044м; Е = 1,3 Дж.
Пример 3. Через блок в виде диска, имеющий массу m = 120 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 80 г и m2 = 100 г (рис. 2). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.
Д а н о: m = 120 г = 0,12 кг; m1 = 80 г = 0,08 кг;
m2 = 100 г = 0,1 кг;
Н а й т и: а.
Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вращательного движения. На каждый из |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движущихся грузов действуют две силы: сила |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тяжести mg , направленная вниз, и сила T |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
натяжения нити, направленная вверх. Так как |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
вектор ускорения a груза m1 направлен вверх, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то T1 m1g . |
Равнодействующая |
этих сил |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
вызывает равноускоренное движение и, по |
||||||||||||||
|
|
T1 |
|
|
|
a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второму закону Ньютона, равна T1 m1g m1a , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
откуда |
T1 m1g m1a |
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор ускорения a |
груза m2 |
направлен |
|||
|
|
m1g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вниз; следовательно, Т2 < m2g. Запишем |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулу второго закона Ньютона для этого |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
груза: m2g T2 |
m2a , откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2g |
|
|
|
T2 m2g m2a |
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
основному |
закону |
динамики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
вращательного движения, вращающий момент |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М, приложенный к диску, равен произведению |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угловое ускорение : |
|
|
|||
момента инерции J диска на его |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M J |
|
|
(3) |
14
Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона силы Т1 и Т2 , приложенные к ободу диска, равны соответственно силам Т1 и Т2, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, Т2 > Т1 . Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, то есть М = (Т2 Т1 )R. Момент инерции диска J = mR2/2, угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением
= а/R.
Подставив в формулу (3) выражения М, J и , получим
|
|
|
|
|
|
(T2 T1 )R |
|
mR2 a |
|
, |
|
|
|
(4) |
|||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ma . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
T2 T1 |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как T1 T1 |
и |
T2 T2 , то можно заменить силы T1 и T2 выражениями |
|||||||||||||||||||
(1) и (2), тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m |
g m |
a m g m a ma , или |
(m |
2 |
m )g (m |
2 |
m |
m)a . (6) |
|||||||||||||
2 |
2 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
m2 m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
g . |
|
|
|
(7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
m2 m1 m |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производим вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(0,1 0,08)кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
9,8 |
|
0,82м/c . |
|
||||||||||||
|
|
|
(0,1 0,08 0,06)кг |
с2 |
|
||||||||||||||||
О т в е т: а = 0,82 м/с2.
Пример 4. Маховик в виде диска массой m = 50кг и радиусом r = 20см был раскручен до частоты вращения n = 480 мин-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t= 50с; 2) маховик до полной остановки сделал N = 200 оборотов.
Д а н о: m = 50кг;
r = 20см = 0,2 м;
n = 480 мин-1= 8 с-1; t = 50с;
N = 200.
Н а й т и: М1; М2.
15
Решение. 1. Согласно основному закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этой силы:
|
JMω2 tJω1 |
(1) |
где J момент инерции маховика; 1 и 2 начальная и конечная угловые скорости. Так как 2 = 0 и t = t, то Mt = J 1, откуда
M Jω1 |
|
(2) |
||
|
t |
|
|
|
Момент инерции диска относительно |
его геометрической оси |
равен |
||
J = mr2/2. Подставив это выражение в формулу (2), найдем |
|
|||
M |
mr2ω |
1 . |
(3) |
|
2t |
||||
|
|
|
||
Выразив угловую скорость 1 через частоту вращения n и произведя вычисления по формуле (3), найдем
M1 |
|
mr2 |
2πn |
|
50кг (0,2м)2 2 3,14 8c-1 |
1H м. |
|
2t |
2 50c |
||||||
|
|
|
|
||||
2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, то есть его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:
A Jω222 Jω212 ,
или, учитывая, что 2 = 0, получим
A |
Jω2 |
|
||
1 |
. |
(4) |
||
2 |
||||
|
|
|
||
Работа при вращательном движении определяется по формуле А = М . Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (4), получим
M |
mr |
2ω2 |
(5) |
||
|
1 . |
||||
|
|
4 |
|
||
Отсюда момент силы трения |
mr2ω2 |
|
|||
M |
(6) |
||||
|
|
1 . |
|||
|
|
4 |
|
||
Учитывая, что 1 = 2 n и угол поворота = 2 N = 2 3,14 200 = 1256 рад, можно по формуле (6) произвести вычисления
M2 50 кг (0,2 м)2 (2 3,14 8с 1 )2 1Н м. 4 1256 рад
16
Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.
О т в е т: М1= 1 Н м; М2 = 1 Н м.
Пример 5. Верхний конец стального стержня длиной l = 5м с площадью поперечного сечения S = 4 см2 закреплен неподвижно. К нижнему
концу подвешен груз массой m = 2 103 кг. Определить: 1) нормальное
напряжение материала стержня; 2) абсолютное х и относительное удлинения стержня; 3) потенциальную энергию WП растянутого стержня.
Д а н о: l = 5м;
S = 4 см2 = 4 10-4 м2;
m= 2 103 кг.
На й т и: ; х; ; WП.
Решение. 1. Нормальное напряжение материала растянутого стержня выражается формулой σ F/S , где F сила, действующая вдоль оси стержня. В данном случае F равна силе тяжести mg и поэтому можем записать
σ mg . |
(1) |
S |
|
Производим вычисления
σ 2 10-3 кг 9,8 м/с2 49 106 Па 49МПа. 4 10-4 м2
2. Абсолютное удлинение выражается формулой
x ESFl ,
где Е модуль Юнга.
Подставив значение силы F в эту формулу, получим x ESFl mgESl .
Производим вычисления
x |
mgl |
|
2 |
10 3 кг 9,8 м 2 |
5м |
/с |
10 |
3 |
м 1,23мм. |
|||||||
ES |
200 109 |
Па 4 10 4 |
м2 |
1,23 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Относительное удлинение стержня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ε |
x |
|
1,23 10 3 |
м |
2,46 10 |
4 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
l |
5м |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(2)
(3)
17
3. Потенциальная энергия растянутого стержня WП = ( /2)V, где V объем тела, равный Sl. Поэтому
|
|
W |
|
σεSl. |
|
|
(4) |
|
|
|
П |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Производим вычисления |
|
|
|
|
|
|
||
|
49 106 Па 2,46 |
10 4 |
|
4 |
|
|||
W |
|
|
|
|
4 10 |
|
м 5м 12,1Дж. |
|
|
|
|
|
|
||||
П |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т: = 49 МПа; |
х = 1,23 10-3 м; |
=2,46 10-4; WП = 12,1 Дж. |
||||||
Пример 6. Однородный диск радиусом R = 0,49 м совершает малые колебания относительно оси, которой является гвоздь, вбитый перпендикулярно стене. Колебания совершаются в плоскости, параллельной стене. Найти частоту колебаний диска, если гвоздь находится на расстоянии d = 2R/3 от центра диска.
Д а н о: R = 0,49 м; |
|
|
|
|
|
d = 2R/3. |
|
|
|
Н а й т и: |
. |
|
|
|
Решение. |
Частота колебаний такого физического маятника равна: |
|||
|
ν |
1 |
. |
(1) |
|
|
|||
|
|
T |
|
|
Период колебаний физического маятника, как известно, равен
T 2π |
J |
, |
(2) |
|
mgd |
||||
|
|
|
где J момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр инерции диска, m масса диска, d расстояние от оси колебаний до оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции маятника, g ускорение свободного падения.
В нашем случае ось колебаний не проходит через центр инерции диска и момент инерции диска J может быть найден по теореме Штейнера:
|
|
|
J J0 md2 , |
(3) |
где J0 |
|
1 mR2 |
момент инерции однородного диска относительно |
оси, |
|
|
2 |
|
|
проходящей через центр инерции перпендикулярно плоскости диска. Учитывая полученные соотношения, имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
ν |
1 |
|
1 |
|
mgd |
, |
d |
2 R, |
(4) |
||||||
T |
2π |
J |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
ν |
1 |
|
|
|
|
|
mgd |
|
|
|
1 |
36g . |
|||
|
2π |
|
mR2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2π |
51R |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
R |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Производим вычисления
ν |
|
1 |
36 9,8 м/c2 |
0,6 Гц. |
|
2 |
3.14 |
51 0,49м |
|||
|
|
О т в е т: = 0,6 Гц.
Пример 7. Определить импульс электрона, обладающего кинетической энергией 5 МэВ.
Д а н о: ЕК = 5 МэВ = 8 10-13 Дж. Н а й т и: р.
Решение. Полная энергия Е частицы равна |
|
Е = Е0 + ЕК, |
(1) |
где Е0 энергия покоя; ЕК кинетическая энергия частицы. Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом
имеет вид
Е2 = Е02 + р2с2, |
(2) |
где с скорость света в вакууме. Импульс электрона будет равен:
p |
1 |
E2 E02 |
|
1 |
EK (EK 2E0 ). |
(3) |
|
c |
|
|
c |
|
|
Производим вычисления |
|
|
|
|
|
|
p |
5(5 |
2 0,511) |
|
5,5 МэВ |
|
5,5 1,6 10 13 |
Дж |
2,9 10 |
23 |
|
кг м |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 108 м/с |
3 108 м/с |
3 |
108 м/с |
|
|
с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
О т в е т: |
р = 2,9 10-23 |
(кг м)/c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19
Таблица вариантов к контрольной работе № 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
Номера контрольных заданий |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1.01 |
1.16 |
1.31 |
1.46 |
1.61 |
1.76 |
|
|
2 |
|
1.02 |
1.17 |
1.32 |
1.47 |
1.62 |
1.77 |
|
|
3 |
|
1.03 |
1.18 |
1.33 |
1.48 |
1.63 |
1.78 |
|
|
4 |
|
1.04 |
1.19 |
1.34 |
1.49 |
1.64 |
1.79 |
|
|
5 |
|
1.05 |
1.20 |
1.35 |
1.50 |
1.65 |
1.80 |
|
|
6 |
|
1.06 |
1.21 |
1.36 |
1.51 |
1.66 |
1.81 |
|
|
7 |
|
1.07 |
1.22 |
1.37 |
1.52 |
1.67 |
1.82 |
|
|
8 |
|
1.08 |
1.23 |
1.38 |
1.53 |
1.68 |
1.83 |
|
|
9 |
|
1.09 |
1.24 |
1.39 |
1.54 |
1.69 |
1.84 |
|
|
10 |
|
1.10 |
1.25 |
1.40 |
1.55 |
1.70 |
1.85 |
|
|
11 |
|
1.11 |
1.26 |
1.41 |
1.56 |
1.71 |
1.86 |
|
|
12 |
|
1.12 |
1.27 |
1.42 |
1.57 |
1.72 |
1.87 |
|
|
13 |
|
1.13 |
1.28 |
1.43 |
1.58 |
1.73 |
1.88 |
|
|
14 |
|
1.14 |
1.29 |
1.44 |
1.59 |
1.74 |
1.89 |
|
|
15 |
|
1.15 |
1.30 |
1.45 |
1.60 |
1.75 |
1.90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.01 |
Тело массой |
m 2 кг движется поступательно под действием |
|
некоторой силы согласию уравнению x 5 3t t2 0,2 t3 . Найти |
|
|
значение этой |
силы в момент времени t 2 c и t 5 c . В какой |
|
момент времени сила равна нулю? |
|
1.02 |
Автомобиль движется по закруглению шоссе, радиус кривизны |
|
|
которого равен R 200 м. Коэффициент трения колес о покрытие |
|
|
дороги равен 0,1 (гололед). При какой скорости автомобиля v |
|
|
начнется его занос? |
|
1.03Наклонная плоскость, образующая угол α 25 с плоскостью горизонта, имеет длину l 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.
1.04 Начальная скорость пули v0 800 м/с. При движении в воздухе за время t 0,8с еескоростьуменьшиласьдо v 200 м/с. Массапулиравна m 10 г.
Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить коэффициентсопротивленияr. Действиемсилытяжестипренебречь.
1.05Автомобиль массой m = 5 т движется со скоростью v 10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу давления автомобиля на мост в его верхней части, еслирадиусR кривизнымостаравен50 м.
20
1.06Тело брошено с башни горизонтально со скоростью v0 = 15 м/с. Пренебрегая сопротивлениемвоздуха, определитьрадиус R кривизнытраекториителачерез t = 2 с посленачаладвижения.
1.07К потолку вагона, движущегося в горизонтальном направлении с ускорением
а4,9 м/с2, подвешен на нити шарик массой m 200 г. Определите для
установившегося движения: 1) силу натяжения нити; 2) угол отклонения нити от вертикали.
1.08Грузовой автомобиль массой m = 5 т двигался со скоростью v = 90 км/ч и под действием постоянной силы торможения остановился через t = 20 секунд. Определить: 1) величину тормозящей силы; 2) пробег машины до полной остановкипосленачалаторможения; 3) работу, совершеннуюприторможении автомобиля.
1.09 |
Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью |
|
v0 20 м/с, остановилась через t = 40 секунд. Определите коэффициент |
трения шайбы о лед.
1.10Тело, имеющее постоянную массу, до торможения двигалось равномерно, а в
момент остановки |
тормозящая |
сила |
достигла |
значения |
Fк |
40 Н. |
|
Определить тормозящую силу F |
через |
время |
t 3с после |
начала |
|||
торможения, если |
тормозной |
путь |
в |
зависимости |
от времени |
||
изменялся по закону S At Bt3 , где A 12 м/с; B 0,25м/с3.
1.11По наклонной плоскости с углом наклона к горизонту, равным 30 , скользит тело. Определите скорость тела в конце второй секунды от начала движения, если коэффициент трения =0,15.
1.12Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность S полета тела в четыре раза больше максимальной высоты H траектории.
1.13Автомобиль массой m = 1,5 т поднимается по шоссе с уклоном 30 под действием силы тяги F = 7 кН. Коэффициент трения между шинами
авто-мобиля и поверхностью шоссе равен = 0,1. Найти ускорение автомобиля.
1.14Человек, масса которого m=70 кг, прыгает с неподвижной тележки со скоростью v = 7 м/с. Определить силу трения тележки о землю, если тележка после толчка остановилась через t = 5 с.
1.15 |
Тело массой m 0,2 кг |
подвешено на нити длиной l 0,8 м. Его |
|
отклонили от положения равновесия до высоты точки подвеса и |
|
|
отпустили, в результате |
чего нить оборвалась. На какой высоте |
|
находилось тело в момент разрыва нити, если она разрывается |
|
1.16 |
под действием силы F 4H? |
|
Автомобиль движется по закруглению шоссе радиусом R 400 м, |
||
|
при этом тангенциальное ускорение автомобиля aτ 0,2 м/с2. |
|
21
Определить нормальное и полное ускорения автомобиля в момент времени, когда его скорость равна v 20 м/с.
1.17Колесо радиусом R 0,1м вращается так, что зависимость угла
поворота радиуса |
колеса |
от |
времени выражается |
уравнением |
a bt kt3 , где |
b 2 с-1, |
k 1с-3. Для точек, лежащих на ободе |
||
колеса, найти: угловую и линейную скорости; |
угловое, |
|||
тангенциальное и |
нормальное |
ускорения через t = |
2 с после |
|
начала движения. |
|
|
|
|
1.18Гиря массой m 0,1кг привязана к концу нити, намотанной на
барабан в виде диска радиусом R 4 см. Найти момент инерции барабана, если гиря опускается с ускорением a 0,80м/с2.
1.19На краю платформы в виде сплошного диска диаметром d 3м и массой m 180 кг стоит человек массой M 70кг. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если по ее краю пойдет
человек со скоростью v 1,8м/с относительно платформы?
1.20Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой M = 180 кг
вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n 10 мин 1 . В центреплатформы стоитчеловекмассойm = 60 кг. Какуюлинейнуюскорость относительнополабудетиметьчеловек, еслионперейдетнакрайплатформы?
1.21Через неподвижный блок в виде однородного диска массой m = 0,2 кг
перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены два тела массами m1 = 0,35 кги m2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить:
1)ускорениегрузов; 2) отношениеТ1/Т2 силнатяжениянити.
1.22На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см намотана
легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с2. Определить: 1) момент инерцииJ вала; 2) массу m вала.
1.23Маховикввидесплошногодиска, моментинерциикоторогоравен J = 1,5 кгм2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил
частоту своего вращенияс n1 = 240 об/мин до n2 = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение маховика; 2) момент силы торможения; 3) работу торможенияА.
1.24Однородный диск, имеющий вес Р = 124 Н, вращается с постоянным угловым ускорением, и его движение описывается уравнением 30t2 2t 1. Диск
вращается под действием постоянной тангенциальной силы F = 90 Н, приложеннойкободудиска. ОпределитьмоментсилтренияМтр, действующих надискприеговращении. РадиусдискаR = 15 см.
1.25Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой n = 6 мин-1. Накраюплатформыстоитчеловек, массакоторогоm = 88 кг.
22
С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы J0 = 120 кгм2. Момент инерции человека рассчитыватькакдляматериальнойточки.
1.26Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращается с частотой n = 8 c-1. К
цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой N = 40 Н, под действием которой вал остановился через время t = 10 с. Определитькоэффициенттрения.
1.27Маховик массой m = 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящейчерезегоцентр, счастотойn = 720 об/мин. Массумаховикаможно считать распределенной по его ободу радиусом R = 40 см. Через t = 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий моментичислооборотов, котороесделаетмаховикдополнойостановки.
1.28 Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 10 20t - 2t2 . Найти
величину и направление полного ускорения точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 мотосивращениядлямоментавремениt = 4 с.
1.29Ротор центрифуги, вращавшийся с частотой n = 10000 мин-1, останавливается
поддействиеммоментасилтренияMтр = 0,2 Нм. Еслимассаротораm = 4,3 кг, а его радиус R = 0,07 м, то сколько оборотов совершит ротор до полной остановки? Закакойпромежутоквременироторполностьюостановится?
1.30Два маховика в виде дисков, имеющих одинаковые массы и радиусы, были раскручены до частоты вращения n = 480 мин-1 и предоставлены самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через
t1 = 80 с, а второй сделал N = 240 оборотов до остановки. У какого маховика моментсилтренияваловоподшипникибылбольшеивосколькораз?
1.31Шар массой m1 = 20 г, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулсяснеподвижнымшароммассойm2 = 40 г. Шарыабсолютноупругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шарпередалвторому?
1.32Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости длиной l = 5 м и углом наклона = 25 . Определить момент инерции колеса, если его скорость v в конце наклонной плоскости равна4,6 м/с.
1.33В баллистический маятник массой m = 5 кг попала пуля массой m0 = 10 г и застряла в нем. Найти скорость v пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялсянавысотуh = 10 см.
1.34Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскостидлиной l = 2м и высотой h = 10 см?
1.35Какое количество энергии пошло на деформацию двух столкнувшихся шаров, массами по m = 4 кг каждый, если они двига
23
лись навстречу друг другу co скоростями v1 3м/с и v2 8м/с, а удар был прямой и неупругий?
1.36Медный шар радиусом R = 10 см вращается с частотой n = 2 с-1 вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения шара вдвое?
1.37Определить КПД неупругого удара молота массой m1 0,5т,
падающего на сваю массой m2 120 кг. Полезной считать энергию, пошедшую на вбивание сваи.
1.38С наклонной плоскости, составляющей угол = 30 с горизонтом, скатывается без скольжения шар. Пренебрегая трением, определить время движения шара по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизилсяна30 см.
1.39 |
Какую работу нужно |
произвести, |
чтобы маховику массой |
m 0,6т, |
|
распределенной по |
ободу с |
диаметром D 1,6м, |
сообщить |
|
вращение с частотой n 240 мин-1? |
|
||
1.40Автомобильмассой m = 1,5 тдвижетсявгору, уклонкоторойсоставляет3 мна каждые 100 м пути. Определить: 1) работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути s = 5 км, если коэффициент трения равен = 0,1;
2)развиваемую двигателем мощность W, если известно, что этот путь был преодолензавремяt = 5 мин.
1.41Найти отношение линейных скоростей центров обруча и шара, катящихся по горизонтальной поверхности, если известно, что их массы и кинетические энергии одинаковы.
1.42Пулямассойm0 = 10 г, летящаясоскоростьюv = 200 м/с, попадаетвшармассой m = 1,5 кг, подвешенный на тросе длиной l = 1м (баллистический маятник), и застреваетвнем. Определитьуголотклонения маятника.
1.43К катящемуся по горизонтальной поверхности шару массой m = 1 кг приложилисилуF = 1 Н иостановилиего. Тормознойпутьприэтомбылравен S = 1 м. Определитьскоростьшарадоначалаторможения.
1.44Груз массой M = 700 кг падает с высоты h = 5 м для забивания сваи массой m = 300 кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину h = 4 см. Удар между грузом и сваейсчитатьабсолютнонеупругим.
1.45Для определения мощности двигателя на его шкив диаметром d = 20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплен динамометр, к другому
подвесили груз. Найти мощность W двигателя, вращающегося с частотой n = 24 c-1. Массагрузаравнаm = 1 кгипоказаниядинамометра F = 24 Н.
1.46В какой точке на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, ракета, летящая на Луну, будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой?
24
1.47К стальному стержню длиной l 3м и диаметром d 2см подвешен груз массой m 2,5 103 кг. Определить напряжение в стержне, относительное и абсолютное х удлинения проволоки.
1.48На какой высоте h ускорение свободного падения вдвое меньше его значения на поверхности Земли?
1.49К вертикальной проволоке длиной l 5м и площадью поперечного сечения S 2 мм2 подвешен груз массой m 5,1кг. В результате чего проволока удлинилась на х 0,6мм. Найти модуль Юнга Е материала проволоки.
1.50Искусственный спутник Земли движется вокруг нее по круговой орбите. Во сколько раз гравитационная потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии?
1.51Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если
при его растяжении была затрачена работа А 6,9 Дж. Длина
стержня l 1м, площадь поперечного сечения S 1мм2, модуль Юнга для алюминия E 69 ГПа.
1.52Шарик, масса которого m 5 г, находится в точке, лежащей на
продолжении оси тонкого |
однородного стержня |
на |
расстоянии |
|
a 10 см |
от его ближайшего |
конца. Длина стержня |
l 1м, масса |
|
m 2 кг. |
Определить силу |
взаимодействия стержня |
и шарика. |
|
Размерами шарика пренебречь.
1.53При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на x = 10 см. Массой пружины пренебречь.
1.54 |
Определить ускорение свободного падения g на высоте h 200 км |
|
над Землей, принимая ускорение свободного паления на |
|
поверхности Земли g0 9,81м/с2, а радиус Земли RЗ 6400км. |
1.55 |
Два вагона (масса каждого m 15 т) движутся навстречу друг другу |
|
со скоростью v 3м/с и сталкиваются между собой. Определите сжатие |
пружины буферов вагонов, если известно, что сила пропорциональна деформации, и под действием силы F 50 кН пружина сжимается на
l 1см.
1.56Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h 1000 км. Ускорение свободного падения g0 и радиус Земли RЗ считать известными.
1.57Медная проволока сечением S 8 мм2 под действием растягивающей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при нагревании на T = 30 К. Принимая для меди модуль Юнга Е 118 ГПа и
25
коэффициент линейного расширения 1,7 10 5 К-1, определить значение этой силы.
1.58Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Определить расстояние от такого спутника до центра Земли.
1.59Определить, какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на x = 15 см, если известно, что сила пропорциональна деформации и под действием силы в F = 20 Н пружина сжимается на
x1 = 1 см.
1.60Радиус R малой планеты равен 250 км. Средняя плотность ρ 3г/см3. Определите ускорение свободного падения g на поверхности планеты.
1.61Определить возвращающую силу F в момент времени t 0,2с и
|
полную |
энергию |
Е |
точки |
массой m 20г, |
совершающей |
|||
|
гармонические колебания согласно |
уравнению x A sin( ω t) , где |
|||||||
|
A 0,15 м и ω 4π с-1. |
|
|
|
|
|
|||
1.62 |
Определить |
период |
|
колебаний |
стержня длиной l 0,3 м около |
||||
|
горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей |
||||||||
|
через его конец. |
|
|
|
|
|
|
||
1.63 |
Определить |
частоту |
|
гармонических колебаний |
диска |
радиусом |
|||
|
R 20 см около горизонтальной оси, проходящей через |
середину |
|||||||
|
радиуса |
диска перпендикулярно |
его |
плоскости. |
|
|
|||
1.64Период колебаний математического маятника Т 10 с. Длина этого
маятника равна сумме длин двух других математических маятников, один из которых имеет частоту ν 1/6 Гц. Чему равен период колебаний второго из этих маятников?
1.65Сплошной однородный диск радиусом R 0,1м колеблется около
оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через край диска. Какой длины должен быть математический маятник, имеющий тот же период колебаний, что и диск?
1.66Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент
|
времени смещение |
точки x 5см, |
скорость |
ее v 0,2м/с и |
||
|
ускорение |
a 0,8м/с2. Найти циклическую |
частоту, |
период |
||
|
колебаний, фазу и амплитуду колебаний в рассматриваемый момент |
|||||
|
времени. |
|
|
|
|
|
1.67 |
Определить |
период |
Т гармонических колебаний диска радиусом |
|||
|
R 40 см |
около |
горизонтальной |
оси, проходящей |
через |
|
|
образующую диска. |
|
|
|
|
|
1.68 |
На стержне длиной |
l 30 см укреплены два одинаковых грузика: |
||||
один в середине стержня, другой на одном из его концов.
|
|
|
26 |
|
|
Стержень с |
грузиками |
колеблется |
около горизонтальной |
оси, |
|
проходящей |
через |
|
свободный |
конец стержня. Определить |
|
приведенную |
длину |
L |
и период |
колебаний Т гармонических |
|
колебаний. Массой стержня пренебречь.
1.69Математический маятник длиной l1 = 40 см и физический маятник в виде тонкогостержнядлиной l2 = 60 смсинхронноколеблютсяоколооднойитойже горизонтальной оси. Определить расстояние d центра масс стержня от оси колебаний.
1.70Спиральная пружина обладает жесткостью k = 25 Н/м. Определить, тело какой массой m должно быть подвешено к пружине, чтобы за время t = 1 мин совершалось25 колебаний.
1.71 |
Тело массой m = 10 г |
совершает гармонические колебания |
по закону |
|
|
x 0,1 cos(4π t π/4) . |
Определить |
максимальные |
значения: |
1) возвращающейсилы; 2) кинетическойэнергии.
1.72Если увеличить массу груза, подвешиваемого к спиральной пружине, на 600 г, топериодколебанийгрузавозрастетв2 раза. Определитьмассупервоначально подвешенногогруза.
1.73Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающейгармоническиеколебаниясамплитудойА= 3 смипериодомТ= 4 с.
1.74МатериальнаяточкасовершаетгармоническиеколебаниясамплитудойА= 4 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение движения точки, если ее движение начинаетсяизположениях0 = 2 см.
1.75Материальная точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся точки Еполн = 10-4 Дж. Найти амплитуду колебаний, написать уравнение колебаний, найти максимальное значениесилы, действующейнаточку.
1.76Электрон движется со скоростью v 0,6c . Определить релятивистский импульс р электрона.
1.77Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличитсяв4 раза?
1.78Протон, движущийся с кинетической энергией Ек 3 ГэВ, при торможении потерял треть этой энергии. Определить во сколько раз изменился релятивистскийимпульспротона.
1.79Частица движется со скоростью v 1/3c (где с скорость света в вакууме). Какуюдолюэнергиипокоясоставляет кинетическаяэнергиячастицы.
27
1.80Найти импульс, полную и кинетическую энергии электрона, движущегося со
скоростью, равнойv = 0,7c скоростисвета.
1.81Скорость электрона равна v = 0,8c скорости света. Зная энергию покоя электрона в МэВ, определить в тех же единицах кинетическую энергию электрона.
1.82Космическая ракета движется с большой скоростью. Релятивистское сокращениееедлинысоставило36%. Определитьскоростьдвиженияракеты.
1.83Прямоугольный брусок со сторонами a = 3,3 см и b = 6,9 см движется параллельно большому ребру. При какой скорости движения прямоугольный брусокпревратитсявкуб?
1.84Протон движется со скоростью v = 0,7c скорости света. Найти импульс и кинетическуюэнергиюпротона.
1.85 |
Определить импульс электрона, обладающего кинетической энергией |
|
|
EК = 7,5 МэВ. |
|
1.86 |
Протон движется со скоростью, равной v1 = 0,8c |
скорости света. Навстречу |
|
ему движется электрон со скоростью v2 = 0,9c |
скорости света. Каковы их |
скорости относительно друг друга? Определить полную и кинетическую энергиюэлектрона.
1.87Найти импульс, полную и кинетическую энергию протона, движущегося со скоростьюv = 0,8 с.
1.88Кинетическая энергия электрона равна EК = 1 МэВ. Определите скорость электрона.
1.89Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя, если скорость иона относительноускорителяравна v = 0,8 с.
1.90Импульс релятивистской частицы равен m0c . Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергиячастицы: 1) кинетическая? 2) полная?