Ãë 6
Пл м м нитном пол
6.1Â íè
6.1.1Пл м ысокой плотности
6.1.2Пл м ср н й плотности
6.1.3Пл м ни кой плотности
6.1.4М нитн я пл м космич ской фи ик
6.1.5О ор с ойст м нитной пл мы
6.2Т ория м нитной пл мы
6.3Поп р чн я и холло ск я про о имости
6.4Вморо нны сило ы линии
6.5Î ð î íè ïë ì ííûõ í î íîðî íîñò é
6.6Диффу ия м нитной пл м
6.7М нитны с ойст пл мы
6.8Р сширяющийся поток м нитной пл мы
51
52 |
ГЛАВА 6. ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ |
Ãë 7
Прило ни 1: А и тич ски ин ри нты
7.1Èí ðè íò Ïó íê ð
Р ссмотрим ин мич скую сист му, котор я опр ля тся н ором п р - м нных qi и функци й Л р н L(qi; qi; t). О о щ нны импульсы опр -
ляются соотнош ниями |
@L |
|
|
|
pi = |
; |
(7.1) |
||
@qi |
||||
è ñèëó óð í íèé Ë ð í |
|
|
|
|
pi = |
@L |
|
(7.2) |
|
@qi |
|
Р ссмотрим т п рь мкнуто мно ст о р ш ний (qi, pi). Пронум ру м эти р ш ния п р м нной k м няющ йся от 0 о 2 :
pi = Pi(k; t); qi = Qi(k; t) |
(7.3) |
|
Р ссмотрим инт р л: |
|
|
J = I |
@Qi |
|
dkPi @k |
(7.4) |
|
Б ря прои о ную по р м ни от J и м няя поря ок ифф р нциро ния, получим
dJ |
= I |
dPi @Qi |
@ |
|
dQi |
|
||
|
dk[ dt |
|
+ Pi |
|
( |
|
)]: |
|
dt |
@k |
@k |
dt |
|||||
Учиты я (7.1) и (7.2) получ м: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dJ |
|
@L @qi |
|
|
|
|
|
|
dt = I |
dk[ |
@qi @k ] |
|
|
|
|
(7.5)
(7.6)
53
54 ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЕ1: АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТ
З сь н о поним ть, что по ынт р льном ыр нии йст ит льнын ч ния qi è qi ñòü Qi è Q_ i. Ò ê ê ê L í èñèò îò k, òî èì ì:
dJ |
= I |
dL |
|
|
dt |
dk dk |
= 0; |
(7.7) |
Т ким о р ом мы ок ли, что J сть точный ин ри нт сист мы. тот ин ри нт н ы тся ин ри нтом Пу нк р .
З м тим, что р ссмотр нии ыш мы н л ли уточн нии о н ч нии п р м тр . Допустим, что сист м со рш т п рио ич ски и ния с ч стотой !. То k мо т о н ч ть ф у и р ш ни мо т ыть пис ноформ :
qi = Qi(!t + k): |
(7.8) |
Воо щ о оря, стро о п рио ич ско и ни мо но о и ть только, с- ли л р н и н L н исит от р м ни. О н ко то , постоянст о ли- чины J, котор я, к к мы у и им, с я н с эн р и й сист мы, н им т осо нно о н ч ния. Т п рь пр поло им, что L исит от р м ни, но
исимость т к я, что L и м ня тся м л нно и п рио ич ски по ср - н нию с р ссм три мыми п рио ич скими и ниями. Пусть и ни н чин тся мом нт р м ни t = 0, н чит, ля t 0:
qi = Qi;0(!0t + k0); |
(7.9) |
, k0 опр ля т н ч льную ф у и ния. О н ко, ля нной функци-
он льной формы Qi;0 è ííîé ô û k0 н ч льны усло ия сист мы полностью опр л ны т к, что k0 опр ля т мкнуто мно ст о тр кторий
ñèñò ìû ëÿ ëþ î î ìîì íò ð ì íè. Ñë î ò ëüíî J0:
J0 = I |
@qi |
|
dkPi @k0 |
(7.10) |
я ля тся инт р лом Пу нк р , то сть точным инт р лом сист мы. Пр поло им т п рь, что р ульт т м л нно о и п рио ич ско о
и м н ния л р н и н L, сист м м л нно прохо ит ч р со окупность кол т льных и ний, т к, что э олюция qi ìî ò ûòü ïèñ í ê ê
qi = Qi(!(t)t + k(t); t): |
(7.11) |