Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Книги / Сидоренко Е.В. ''Методы математической обработки в психологи.doc
Скачиваний:
1853
Добавлен:
29.05.2015
Размер:
5.89 Mб
Скачать

Алгоритм 17 Расчет критерия φ*

1. Определить те значения признака, которые будут критерием для разделения испытуемых на тех, у кого "есть эффект" и тех, у кого "нет эффекта". Если признак измерен количественно, использовать критерий λ для поиска опти­мальной точки разделения.

2. Начертить четырехклеточную таблицу из двух столбцов и двух строк. Пер­вый столбец - "есть эффект"; второй столбец - "нет эффекта"; первая стро­ка сверху - 1 группа (выборка); вторая строка - 2 группа (выборка).

3. Подсчитать количество испытуемых в первой группе, у которых "есть эф­фект", и занести это число в левую верхнюю ячейку таблицы.

4. Подсчитать количество испытуемых в первой выборке, у которых "нет эф­фекта", и занести это число в правую верхнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум верхним ячейкам. Она должна совпадать с количеством ис­пытуемых в первой группе.

5. Подсчитать количество испытуемых во второй группе, у которых "есть эф­фект", и занести это число в левую нижнюю ячейку таблицы.

6. Подсчитать количество испытуемых во второй выборке, у которых "нет эф­фекта", и занести это число в правую нижнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум нижним ячейкам. Она должна совпадать с количеством ис­пытуемых во второй группе (выборке).

7. Определить процентные доли испытуемых, у которых "есть эффект", путем отнесения их количества к общему количеству испытуемых в данной группе (выборке). Записать полученные процентные доли соответственно в левой верхней и левой нижней ячейках таблицы в скобках, чтобы не перепутать их с абсолютными значениями.

8. Проверить, не равняется ли одна из сопоставляемых процентных долей ну­лю. Если это так, попробовать изменить это, сдвинув точку разделения групп в ту или иную сторону. Если это невозможно или нежелательно, от­казаться от критерия φ* и использовать критерий χ2.

9. Определить по Табл. XII Приложения 1 величины углов φ для каждой из сопоставляемых процентных долей.

10. Подсчитать эмпирическое значение φ* по формуле:

где: φ1 - угол, соответствующий большей процентной доле;

φ2 - угол, соответствующий меньшей процентной доле;

n1 - количество наблюдений в выборке 1;

n2 - количество наблюдений в выборке 2.

11. Сопоставить полученное значение φ* с критическими значениями: φ* ≤1,64 (р<0,05) и φ* ≤2,31 (р<0,01).

Если φ*эмп ≤φ*кр. H0 отвергается.

При необходимости определить точный уровень значимости полученного φ*эмп по Табл. XIII Приложения 1.

5.3. Биномиальный критерий ш Назначение критерия m

Критерий предназначен для сопоставления частоты встречаемости какого-либо эффекта с теоретической или заданной частотой его встре­чаемости.

Он применяется в тех случаях, когда обследована лишь одна вы­борка объемом не более 300 наблюдений, в некоторых задачах - не больше 50 наблюдений.

Описание критерия

Биномиальный критерий m позволяет оценить, насколько эмпи­рическая частота интересующего нас эффекта превышает теоретиче­скую, среднестатистическую или какую-то заданную частоту, соответ­ствующую вероятности случайного угадывания, среднему проценту успешности в выполнении данного задания, допустимому проценту брака и т.п.

Биномиальный критерий незаменим, если налицо 2 условия:

а) обследована лишь одна выборка испытуемых, и нет возможности или смысла делить эту выборку на две части с целью дальнейшего применения критерия, φ*, так как для нас по каким-то причинам важно исследовать частоту встречаемости признака в выборке в целом;

б) в обследованной выборке менее 30 испытуемых, что не позволяет нам применить критерий χ2.

Если в нашей выборке больше 30 испытуемых, мы все же можем использовать критерий m и тем самым сэкономить время на подсчете χ2.

Эмпирическая частота наблюдений, в которых проявляется инте­ресующий нас эффект, обозначается как т. Это и есть эмпирическое [значение критерия т. Если mэмп равен или превышает mкр, то различия достоверны.

Гипотезы

H0: Частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке не превышает теоретической (заданной, ожидаемой, предполагаемой).

H1: Частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке превышает теоретическую (заданную, ожидаемую, предполагаемую).

Графическое представление биномиального критерия

Критерий определяет, достаточно ли эмпирическая частота встре­чаемости признака превышает заданную, "перевешивает" ее. Можно представить себе это как взвешивание эмпирической и теоретической частот на чашечных весах (Рис. 5.4). Весы реагируют только на такие, различия в весе, которые соответствуют по крайней мере минимальному уровню значимости р<0,05.

Ограничения биномиального критерия

1. В выборке должно быть не менее 5 наблюдений. В принципе воз­можно применение критерия и при 2≤n<5, но лишь в отношении определенного типа задач (см. Табл. XV Приложения 1).

2. Верхний предел численности выборки зависит от ограничений, опре­деляемых пп.3-8 и варьирует в диапазоне от 50 до 300 наблюдений, что определяется имеющимися таблицами критических значений.

3. Биномиальный критерий m позволяет проверить лишь гипотезу о том, что частота встречаемости интересующего нас эффекта в обсле­дованной выборке превышает заданную вероятность Р. Заданная вероятность при этом должна быть: Р ≤0,50.

4. Если мы хотим проверить гипотезу о том, что частота встречаемости интересующего нас эффекта достоверно ниже заданной вероятности, то при Р=0,50 мы можем сделать это с помощью уже известного критерия знаков G, при Р>0,50 мы должны преобразовать гипоте­зы в противоположные, а при Р<0,50 придется использовать крите­рий χ2.

По Табл. 5.12 легко определить, какой из путей для нас доступен.

Таблица 5.12

Выбор критерия для сопоставлений эмпирической частоты с теоретической при разных вероятностях исследуемого эффекта Р и разных гипотезах.

Заданные вероятности

H1: fэмп достоверно выше fтеор

H1: fэмп достоверно ниже fтеор

Р<0,50

А

m

для 2 ≤n ≤50

Б

χ2

для n ≥30

Р=0,50

В

m

для 5 ≤n ≤300

Г

G

для 5 ≤n ≤300

Р>0,50

Д

χ2

для n ≤30

Е

m

для 2 ≤n ≤50

Пояснения к Табл. 5.12

A) Если заданная вероятность Р<0,50, а fэмп>fтеор (например, допус­тимый уровень брака - 15%, а в обследованной выборке получено значение в 25%), то биномиальный критерий применим для объема выборки 2≤n≤50.

Б) Если заданная вероятность Р<0,50, а fэмп>fтеор (например, допус­тимый уровень брака - 15%, а в обследованной выборке наблюдает­ся 5% брака), то биномиальный критерий неприменим и следует применять критерий χ2 (см. Пример 2).

B) Если заданная вероятность Р=0,50, а fэмп>fтеор (например, вероят­ность выбора каждой из равновероятных альтернатив Р=0,50, а в обследованной выборке одна из альтернатив выбирается чаще, чем в половине случаев), то биномиальный критерий применим для объема выборки 5≤n≤300.

Г) Если заданная вероятность Р=0,50, a fэмп>fтеор (например, вероят­ность выбора каждой из равновероятных альтернатив Р=0,50, а в обследованной выборке одна из альтернатив наблюдается реже, чем в половине случаев), то вместо биномиального критерия применяется критерий знаков G, являющийся "зеркальным отражением" биноми­ального критерия при Р=0,50. Допустимый объем выборки: 5≤n≤300.

Д) Если заданная вероятность Р>0,50, а fэмп>fтеор (например, средне­статистический процент решения задачи - 80%, а в обследованной выборке он составляет 95%), то биномиальный критерий неприме­ним и следует применять критерий χ2 (см. Пример 3).

Е) Если заданная вероятность Р>0,50, а fэмп>fтеор (например, средне­статистический процент решения задачи - 80%, а в обследованной выборке он составляет 60%), то биномиальный критерий применим при условии, что в качестве "эффекта" мы будем рассматривать более редкое событие - неудачу в решении задачи, вероятность которого Q=l—Р=1—0,80=0,20 и процент встречаемости в данной выборке: 100%—75%=25%. Эти преобразования фактически сведут данную задачу к задаче, предусмотренной n. А. Допустимый объем выбор­ки: 2≤n≤50 (см. пример 3).

Пример 1

В процессе тренинга сенситивности в группе из 14 человек вы­полнялось упражнение "Психологический прогноз". Все участники должны были пристально вглядеться в одного и того же человека, ко­торый сам пожелал быть испытуемым в этом упражнении. Затем каж­дый из участников задавал испытуемому вопрос, предполагавший два заданных варианта ответа, например: "Что в тебе преобладает: отстра­ненная наблюдательность или включенная эмпатия?" "Продолжал бы ты работать или нет, если бы у тебя появилась материальная возмож­ность не работать?" "Кто тебя больше утомляет - люди нахальные или занудные?" и т. п. Испытуемый должен был лишь молча выслушать вопрос, ничего не отвечая. Во время этой паузы участники пытались определить, как он ответит на данный вопрос, и записывали свои про­гнозы. Затем ведущий предлагал испытуемому дать ответ на заданный вопрос. Теперь каждый участник мог определить, совпал ли его про­гноз с ответом испытуемого или нет. После того, как было задано 14 вопросов (13 участников + ведущий), каждый сообщил, сколько у него получилось точных прогнозов. В среднем было по 7-8 совпадений, но у одного из участников их было 12, и группа ему спонтанно зааплодиро­вала. У другого участника, однако, оказалось всего 4 совпадения, и он был очень этим огорчен.

Имела ли группа статистические основания для аплодисментов?

Имел ли огорченный участник статистические основания для грусти?

Начнем с первого вопроса.

По-видимому, группа будет иметь статистические основания для аплодисментов, если частота правильных прогнозов у участника А пре­высит теоретическую частоту случайных угадываний. Если бы участник прогнозировал ответ испытуемого случайным образом, то, в соответст­вии с теорией вероятностей, шансы случайно угадать или не угадать ответ на данный вопрос у него были бы равны P=Q=0,5. Определим теоретическую частоту правильных случайных угадываний:

fтеор=n·P

где n - количество прогнозов;

Р - вероятность правильного прогноза при случайном угадывании.

fтеор=14-0,5=7

Итак, нам нужно определить, "перевешивают" ли 12 реально данных правильных прогнозов 7 правильных прогнозов, которые могли бы быть у данного участника, если бы он прогнозировал ответ испы­туемого случайным образом.

Требования, предусмотренные ограничением 3, соблюдены: Р=0,50; fэмп>fтеор. Данный случай относится к варианту "В" Табл. 5.12.

Мы можем сформулировать гипотезы.

H0: Количество точных прогнозов у участника А не превышает часто­ты, соответствующей вероятности случайного угадывания.

H1: Количество точных прогнозов у участника А превышает частоту, соответствующую вероятности случайного угадывания.

По Табл. XIV Приложения 1 определяем критические значения критерия m при n=14, Р=0,50:

Мы помним, что за эмпирическое значение критерия m принима­ется эмпирическая частота:

Зона значимости простирается вправо, в область более высоких значений m (более "весомых", если использовать аналогию с весами), а зона незначимости - в область более низких, "невесомых", значений m.

Ответ: H0 отвергается. Принимается H1. Количество точных прогнозов у участника А превышает (или по крайней мере равняется) критической частоте вероятности случайного угадывания (р≤0,01). Группа вполне обоснованно ему аплодировала!

Теперь попробуем ответить на второй вопрос задачи.

По-видимому, основания для грусти могут появиться, если коли­чество правильных прогнозов оказывается достоверно ниже теоретиче­ской частоты случайных угадываний. Мы должны определить, 4 точных прогноза участника Б - это достоверно меньше, чем 7 теоретически возможных правильных прогнозов при случайном угадывании или нет?

В данном случае Р=0,50; fэмп>fтеор. В соответствии с ограничени­ем 4, в данном случае мы должны применить критерий знаков, кото­рый по существу является зеркальным отражением или "второй сторо­ной" одностороннего биномиального критерия (вариант "Г" Табл. 5.12). Вначале нам нужно определить, что является типичным событием для участника Б. Это неправильные прогнозы, их 10. Теперь мы опре­деляем, достаточно ли мало у него нетипичных правильных прогнозов, чтобы считать перевешивание неправильных прогнозов достоверным.

Сформулируем гипотезы.

H0: Преобладание неправильных прогнозов у участника Б является случайным.

H1: Преобладание неправильных прогнозов у участника Б не является случайным.

По Табл. V Приложения 1 определяем критические значения критерия знаков G для n=14:

Построим "ось значимости". Мы помним, что в критерии знаков зона значимости находится слева, а зона незначимости - справа, так как чем меньше нетипичных событий, тем типичные события являются бо­лее достоверно преобладающими.

Эмпирическое значение критерия G определяется как количество нетипичных событий. В данном случае:

Эмпирическое значение критерия G попадает в зону незначимости.

Ответ: H0 принимается. Преобладание неправильных прогнозов у участника Б является случайным.

Участник Б не имел достаточных статистических оснований для огорчения. Дело, однако, в том, что психологическая "весомость" отклонения его оценки значительно перевешивает статистическую. Вся­кий практикующий психолог согласится, что повод для огорчения у уча­стника Б все же был.

Важная особенность биномиального критерия и критерия знаков состоит в том, что они превращают уникальность, единственность и жизненную резкость произошедшего события в нечто неотличимое от безликой и всепоглощающей случайности. Учитывая это, лучше исполь­зовать биномиальный критерий для решения более отвлеченных, форма­лизованных задач, например, для уравновешивания выборок по призна­ку пола, возраста, профессиональной принадлежности и т. п.

При оценке же личностно значимых событий оказывается, что статистическая сторона дела не совпадает с психологической больше, чем при использовании любого из других критериев.

Пример 2

В тренинге профессиональных наблюдателей допускается, чтобы наблюдатель ошибался в оценке возраста ребенка не более чем на 1 год в ту или иную сторону. Наблюдатель допускается к работе, если он совершает не более 15% ошибок, превышающих отклонение на 1 год. Наблюдатель Н допустил 1 ошибку в 50-ти попытках, а наблюдатель К - 15 ошибок в 50-ти попытках. Достоверно ли отличаются эти ре­зультаты от контрольной величины?

Определим частоту допустимых ошибок при п = 50:

fтеор=n·Р=50·0,15=7,5

Для наблюдателя Н fэмп<fтеор. Для наблюдателя К fэмп>fтеор

Сформулируем гипотезы для наблюдателя Н.

H0: Количество ошибок у наблюдателя Н не меньше, чем это преду­смотрено заданной величиной.

H1: Количество ошибок у наблюдателя Н меньше, чем это предусмот­рено заданной величиной.

В данном случае Р=0,15<0,50; fэмп>fтеор.

Этот случай попадает под вариант Б Табл. 5. 12. Нам придется применить критерий у}, сопоставляя полученные эмпирические частоты ошибочных и правильных ответов с теоретическими частотами, состав­ляющими, соответственно, 7,5 для ошибочного ответа и (50-7,5)=42,5 для правильного ответа. Подсчитаем χ2 по формуле, включающей по­правку на непрерывность24:

По Табл. IX Приложения 1 определяем критические значения χ2 при v=l:

Ответ: H0 отвергается. Количество ошибок у наблюдателя Н меньше, чем это предусмотрено заданной величиной (р≤0,05)

Сформулируем гипотезы для наблюдателя К.

H0: Количество ошибок у наблюдателя К не больше, чем это преду­смотрено заданной величиной.

H1: Количество ошибок у наблюдателя К больше, чем это предусмот­рено заданной величиной.

В данном случае Р=0,15<0,5; fэмп>fтеор. Этот случай подпадает под вариант А Табл. 5.12. Мы можем применить биномиальный крите­рий, поскольку n=50.

По Табл. XV Приложения 1 определяем критические значения при п=50, Р=0,15, Q=0,85:

Ответ: H0 отвергается. Количество ошибок у наблюдателя Н меньше, чем это предусмотрено заданной величиной (р<0,05).

Пример 3

В примере 1 параграфа 5.2 мы сравнивали процент справившихся с экспериментальной задачей испытуемых в двух группах. Теперь мы можем сопоставить процент успешности каждой группы со среднестати­стическим процентом успешности. Данные представлены в Табл. 5.13.

Таблица 5.13

Показатели успешности решения задачи в двух группах испытуемых

Количество испытуемых, решивших задачу

Количество испытуемых, не решивших задачу

Суммы

1 группа (n1=20)

12

(60%)

8

(40%)

20

2 группа (п7=25)

10

(40%)

15

(60%)

25

Суммы

22

23

45

Среднестатистический показатель успешности в решении этой за­дачи - 55%. Определим теоретическую частоту правильных ответов для групп 1 и 2:

Для группы 1, следовательно, Р=0,55>0,50; fэмп=12>fтеор. Этот случай соответствует варианту "Д" Табл. 5.12. Мы должны были бы применить критерий χ2, но у нас всего 20 наблюдений: n<30. Ни би­номиальный критерий, ни критерий χ2 неприменимы. Остается крите­рий φ* Фишера, который мы сможем применить, если узнаем, сколько испытуемых было в выборке, по которой определялся среднестатистиче­ский процент.

Далее, для группы 2: Р=0,55>0,50; fэмп=10>fтеор. Этот случай соответствует варианту "Е" Табл. 5.12. Мы можем применить биноми­альный критерий, если будем считать "эффектом" неудачу в решении задачи. Вероятность неудачи Q=l—Р=1—0,55=0,45. Новая эмпириче­ская частота составит: fэмп=25-10=15.

Сформулируем гипотезы.

H0: Процент неудач в обследованной выборке не превышает заданного процента неудач.

H1 Процент неудач в обследованной выборке превышает заданный процент неудач.

По Табл. XV Приложения 1 определяем критические значения для n=25, P=0,45, Q=0.55 (мы помним, что Р и Q поменялись местами):

Ответ: H0 принимается. Процент неудач в обследованной вы­борке не превышает заданного процента неудач.

Сформулируем общий алгоритм применения критерия m.