- •Содержание
- •Как читать эту книгу и как ею пользоваться
- •Глава 1
- •1.2. Шкалы измерения
- •1.3. Распределение признака. Параметры распределения
- •1.4. Статистические гипотезы
- •Направленные гипотезы
- •Ненаправленные гипотезы
- •1.5. Статистические критерии
- •Параметрические критерии
- •Непараметрические критерии
- •1.6. Уровни статистической значимости
- •Правило отклонения h0 и принятия h1
- •1.7. Мощность критериев
- •1.8. Классификация задач и методов их решения
- •1.9. Принятие решения о выборе метода математической обработки
- •Алгоритм 1
- •Алгоритм 2
- •1.10. Список обозначений Латинские обозначения:
- •Греческие обозначения:
- •Глава 2 выявление различий в уровне исследуемого признака
- •2.1. Обоснование задачи сопоставления и сравнения
- •2.2. Q - критерий Розенбаума
- •Алгоритм 3 Подсчет критерия q Розенбаума
- •Правила ранжирования
- •Алгоритм 4 Подсчет критерия u Манна-Уитни.
- •2.4. Н - критерий Крускала-Уоллиса
- •Алгоритм 5 Подсчет критерия н Крускала-Уоллиса
- •Алгоритм 6 Подсчет критерия s Джонкира
- •2.6. Задачи для самостоятельной работы
- •2.7. Алгоритм принятия решения о выборе критерия для сопоставлений
- •Глава 3 оценка достоверности сдвига в значениях исследуемого признака
- •3.1. Обоснование задачи исследований изменений
- •3.2. G- критерий знаков
- •Алгоритм 8 Расчет критерия знаков g
- •Алгоритм 9 Подсчет критерия т Вилкоксона
- •3.4. Критерий χ2r Фридмана
- •Алгоритм 10 Подсчет критерия χ2r Фридмана
- •3.5. L - критерий тенденций Пейджа
- •Алгоритм 11 Подсчет критерия тенденций l Пейджа
- •3.6. Задачи для самостоятельной работы
- •3.7. Алгоритм принятия решения о выборе критерия оценки изменений
- •Глава 4 выявление различий в распределении признака
- •4.1. Обоснование задачи сравнения распределений признака
- •4,2. Χ2 критерий Пирсона
- •Шутливый пример
- •Алгоритм 13 Расчет критерия χ2
- •Алгоритм 14 Расчет абсолютной величины разности d между эмпирическим и равномерным распределениями
- •Алгоритм 15 Расчет критерия λ при сопоставлении двух эмпирических распределений
- •Глава 5 многофункциональные статистические критерии
- •5.1. Понятие многофункциональных критериев
- •5.2. Критерий φ* — угловое преобразование Фишера
- •Алгоритм 17 Расчет критерия φ*
- •5.3. Биномиальный критерий ш Назначение критерия m
- •Алгоритм 18 Применение биномиального критерия m
- •5.4. Многофункциональные критерии как эффективные заменители традиционных критериев
- •5.5. Задачи для самостоятельной работы
- •5.6. Алгоритм выбора многофункциональных критериев
Алгоритм 17 Расчет критерия φ*
1. Определить те значения признака, которые будут критерием для разделения испытуемых на тех, у кого "есть эффект" и тех, у кого "нет эффекта". Если признак измерен количественно, использовать критерий λ для поиска оптимальной точки разделения.
2. Начертить четырехклеточную таблицу из двух столбцов и двух строк. Первый столбец - "есть эффект"; второй столбец - "нет эффекта"; первая строка сверху - 1 группа (выборка); вторая строка - 2 группа (выборка).
3. Подсчитать количество испытуемых в первой группе, у которых "есть эффект", и занести это число в левую верхнюю ячейку таблицы.
4. Подсчитать количество испытуемых в первой выборке, у которых "нет эффекта", и занести это число в правую верхнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум верхним ячейкам. Она должна совпадать с количеством испытуемых в первой группе.
5. Подсчитать количество испытуемых во второй группе, у которых "есть эффект", и занести это число в левую нижнюю ячейку таблицы.
6. Подсчитать количество испытуемых во второй выборке, у которых "нет эффекта", и занести это число в правую нижнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум нижним ячейкам. Она должна совпадать с количеством испытуемых во второй группе (выборке).
7. Определить процентные доли испытуемых, у которых "есть эффект", путем отнесения их количества к общему количеству испытуемых в данной группе (выборке). Записать полученные процентные доли соответственно в левой верхней и левой нижней ячейках таблицы в скобках, чтобы не перепутать их с абсолютными значениями.
8. Проверить, не равняется ли одна из сопоставляемых процентных долей нулю. Если это так, попробовать изменить это, сдвинув точку разделения групп в ту или иную сторону. Если это невозможно или нежелательно, отказаться от критерия φ* и использовать критерий χ2.
9. Определить по Табл. XII Приложения 1 величины углов φ для каждой из сопоставляемых процентных долей.
10. Подсчитать эмпирическое значение φ* по формуле:
где: φ1 - угол, соответствующий большей процентной доле;
φ2 - угол, соответствующий меньшей процентной доле;
n1 - количество наблюдений в выборке 1;
n2 - количество наблюдений в выборке 2.
11. Сопоставить полученное значение φ* с критическими значениями: φ* ≤1,64 (р<0,05) и φ* ≤2,31 (р<0,01).
Если φ*эмп ≤φ*кр. H0 отвергается.
При необходимости определить точный уровень значимости полученного φ*эмп по Табл. XIII Приложения 1.
5.3. Биномиальный критерий ш Назначение критерия m
Критерий предназначен для сопоставления частоты встречаемости какого-либо эффекта с теоретической или заданной частотой его встречаемости.
Он применяется в тех случаях, когда обследована лишь одна выборка объемом не более 300 наблюдений, в некоторых задачах - не больше 50 наблюдений.
Описание критерия
Биномиальный критерий m позволяет оценить, насколько эмпирическая частота интересующего нас эффекта превышает теоретическую, среднестатистическую или какую-то заданную частоту, соответствующую вероятности случайного угадывания, среднему проценту успешности в выполнении данного задания, допустимому проценту брака и т.п.
Биномиальный критерий незаменим, если налицо 2 условия:
а) обследована лишь одна выборка испытуемых, и нет возможности или смысла делить эту выборку на две части с целью дальнейшего применения критерия, φ*, так как для нас по каким-то причинам важно исследовать частоту встречаемости признака в выборке в целом;
б) в обследованной выборке менее 30 испытуемых, что не позволяет нам применить критерий χ2.
Если в нашей выборке больше 30 испытуемых, мы все же можем использовать критерий m и тем самым сэкономить время на подсчете χ2.
Эмпирическая частота наблюдений, в которых проявляется интересующий нас эффект, обозначается как т. Это и есть эмпирическое [значение критерия т. Если mэмп равен или превышает mкр, то различия достоверны.
Гипотезы
H0: Частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке не превышает теоретической (заданной, ожидаемой, предполагаемой).
H1: Частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке превышает теоретическую (заданную, ожидаемую, предполагаемую).
Графическое представление биномиального критерия
Критерий определяет, достаточно ли эмпирическая частота встречаемости признака превышает заданную, "перевешивает" ее. Можно представить себе это как взвешивание эмпирической и теоретической частот на чашечных весах (Рис. 5.4). Весы реагируют только на такие, различия в весе, которые соответствуют по крайней мере минимальному уровню значимости р<0,05.
Ограничения биномиального критерия
1. В выборке должно быть не менее 5 наблюдений. В принципе возможно применение критерия и при 2≤n<5, но лишь в отношении определенного типа задач (см. Табл. XV Приложения 1).
2. Верхний предел численности выборки зависит от ограничений, определяемых пп.3-8 и варьирует в диапазоне от 50 до 300 наблюдений, что определяется имеющимися таблицами критических значений.
3. Биномиальный критерий m позволяет проверить лишь гипотезу о том, что частота встречаемости интересующего нас эффекта в обследованной выборке превышает заданную вероятность Р. Заданная вероятность при этом должна быть: Р ≤0,50.
4. Если мы хотим проверить гипотезу о том, что частота встречаемости интересующего нас эффекта достоверно ниже заданной вероятности, то при Р=0,50 мы можем сделать это с помощью уже известного критерия знаков G, при Р>0,50 мы должны преобразовать гипотезы в противоположные, а при Р<0,50 придется использовать критерий χ2.
По Табл. 5.12 легко определить, какой из путей для нас доступен.
Таблица 5.12
Выбор критерия для сопоставлений эмпирической частоты с теоретической при разных вероятностях исследуемого эффекта Р и разных гипотезах.
Заданные вероятности |
H1: fэмп достоверно выше fтеор |
H1: fэмп достоверно ниже fтеор | ||||
Р<0,50 |
А |
m |
для 2 ≤n ≤50 |
Б |
χ2 |
для n ≥30 |
Р=0,50 |
В |
m |
для 5 ≤n ≤300 |
Г |
G |
для 5 ≤n ≤300 |
Р>0,50 |
Д |
χ2 |
для n ≤30 |
Е |
m |
для 2 ≤n ≤50 |
Пояснения к Табл. 5.12
A) Если заданная вероятность Р<0,50, а fэмп>fтеор (например, допустимый уровень брака - 15%, а в обследованной выборке получено значение в 25%), то биномиальный критерий применим для объема выборки 2≤n≤50.
Б) Если заданная вероятность Р<0,50, а fэмп>fтеор (например, допустимый уровень брака - 15%, а в обследованной выборке наблюдается 5% брака), то биномиальный критерий неприменим и следует применять критерий χ2 (см. Пример 2).
B) Если заданная вероятность Р=0,50, а fэмп>fтеор (например, вероятность выбора каждой из равновероятных альтернатив Р=0,50, а в обследованной выборке одна из альтернатив выбирается чаще, чем в половине случаев), то биномиальный критерий применим для объема выборки 5≤n≤300.
Г) Если заданная вероятность Р=0,50, a fэмп>fтеор (например, вероятность выбора каждой из равновероятных альтернатив Р=0,50, а в обследованной выборке одна из альтернатив наблюдается реже, чем в половине случаев), то вместо биномиального критерия применяется критерий знаков G, являющийся "зеркальным отражением" биномиального критерия при Р=0,50. Допустимый объем выборки: 5≤n≤300.
Д) Если заданная вероятность Р>0,50, а fэмп>fтеор (например, среднестатистический процент решения задачи - 80%, а в обследованной выборке он составляет 95%), то биномиальный критерий неприменим и следует применять критерий χ2 (см. Пример 3).
Е) Если заданная вероятность Р>0,50, а fэмп>fтеор (например, среднестатистический процент решения задачи - 80%, а в обследованной выборке он составляет 60%), то биномиальный критерий применим при условии, что в качестве "эффекта" мы будем рассматривать более редкое событие - неудачу в решении задачи, вероятность которого Q=l—Р=1—0,80=0,20 и процент встречаемости в данной выборке: 100%—75%=25%. Эти преобразования фактически сведут данную задачу к задаче, предусмотренной n. А. Допустимый объем выборки: 2≤n≤50 (см. пример 3).
Пример 1
В процессе тренинга сенситивности в группе из 14 человек выполнялось упражнение "Психологический прогноз". Все участники должны были пристально вглядеться в одного и того же человека, который сам пожелал быть испытуемым в этом упражнении. Затем каждый из участников задавал испытуемому вопрос, предполагавший два заданных варианта ответа, например: "Что в тебе преобладает: отстраненная наблюдательность или включенная эмпатия?" "Продолжал бы ты работать или нет, если бы у тебя появилась материальная возможность не работать?" "Кто тебя больше утомляет - люди нахальные или занудные?" и т. п. Испытуемый должен был лишь молча выслушать вопрос, ничего не отвечая. Во время этой паузы участники пытались определить, как он ответит на данный вопрос, и записывали свои прогнозы. Затем ведущий предлагал испытуемому дать ответ на заданный вопрос. Теперь каждый участник мог определить, совпал ли его прогноз с ответом испытуемого или нет. После того, как было задано 14 вопросов (13 участников + ведущий), каждый сообщил, сколько у него получилось точных прогнозов. В среднем было по 7-8 совпадений, но у одного из участников их было 12, и группа ему спонтанно зааплодировала. У другого участника, однако, оказалось всего 4 совпадения, и он был очень этим огорчен.
Имела ли группа статистические основания для аплодисментов?
Имел ли огорченный участник статистические основания для грусти?
Начнем с первого вопроса.
По-видимому, группа будет иметь статистические основания для аплодисментов, если частота правильных прогнозов у участника А превысит теоретическую частоту случайных угадываний. Если бы участник прогнозировал ответ испытуемого случайным образом, то, в соответствии с теорией вероятностей, шансы случайно угадать или не угадать ответ на данный вопрос у него были бы равны P=Q=0,5. Определим теоретическую частоту правильных случайных угадываний:
fтеор=n·P
где n - количество прогнозов;
Р - вероятность правильного прогноза при случайном угадывании.
fтеор=14-0,5=7
Итак, нам нужно определить, "перевешивают" ли 12 реально данных правильных прогнозов 7 правильных прогнозов, которые могли бы быть у данного участника, если бы он прогнозировал ответ испытуемого случайным образом.
Требования, предусмотренные ограничением 3, соблюдены: Р=0,50; fэмп>fтеор. Данный случай относится к варианту "В" Табл. 5.12.
Мы можем сформулировать гипотезы.
H0: Количество точных прогнозов у участника А не превышает частоты, соответствующей вероятности случайного угадывания.
H1: Количество точных прогнозов у участника А превышает частоту, соответствующую вероятности случайного угадывания.
По Табл. XIV Приложения 1 определяем критические значения критерия m при n=14, Р=0,50:
Мы помним, что за эмпирическое значение критерия m принимается эмпирическая частота:
Зона значимости простирается вправо, в область более высоких значений m (более "весомых", если использовать аналогию с весами), а зона незначимости - в область более низких, "невесомых", значений m.
Ответ: H0 отвергается. Принимается H1. Количество точных прогнозов у участника А превышает (или по крайней мере равняется) критической частоте вероятности случайного угадывания (р≤0,01). Группа вполне обоснованно ему аплодировала!
Теперь попробуем ответить на второй вопрос задачи.
По-видимому, основания для грусти могут появиться, если количество правильных прогнозов оказывается достоверно ниже теоретической частоты случайных угадываний. Мы должны определить, 4 точных прогноза участника Б - это достоверно меньше, чем 7 теоретически возможных правильных прогнозов при случайном угадывании или нет?
В данном случае Р=0,50; fэмп>fтеор. В соответствии с ограничением 4, в данном случае мы должны применить критерий знаков, который по существу является зеркальным отражением или "второй стороной" одностороннего биномиального критерия (вариант "Г" Табл. 5.12). Вначале нам нужно определить, что является типичным событием для участника Б. Это неправильные прогнозы, их 10. Теперь мы определяем, достаточно ли мало у него нетипичных правильных прогнозов, чтобы считать перевешивание неправильных прогнозов достоверным.
Сформулируем гипотезы.
H0: Преобладание неправильных прогнозов у участника Б является случайным.
H1: Преобладание неправильных прогнозов у участника Б не является случайным.
По Табл. V Приложения 1 определяем критические значения критерия знаков G для n=14:
Построим "ось значимости". Мы помним, что в критерии знаков зона значимости находится слева, а зона незначимости - справа, так как чем меньше нетипичных событий, тем типичные события являются более достоверно преобладающими.
Эмпирическое значение критерия G определяется как количество нетипичных событий. В данном случае:
Эмпирическое значение критерия G попадает в зону незначимости.
Ответ: H0 принимается. Преобладание неправильных прогнозов у участника Б является случайным.
Участник Б не имел достаточных статистических оснований для огорчения. Дело, однако, в том, что психологическая "весомость" отклонения его оценки значительно перевешивает статистическую. Всякий практикующий психолог согласится, что повод для огорчения у участника Б все же был.
Важная особенность биномиального критерия и критерия знаков состоит в том, что они превращают уникальность, единственность и жизненную резкость произошедшего события в нечто неотличимое от безликой и всепоглощающей случайности. Учитывая это, лучше использовать биномиальный критерий для решения более отвлеченных, формализованных задач, например, для уравновешивания выборок по признаку пола, возраста, профессиональной принадлежности и т. п.
При оценке же личностно значимых событий оказывается, что статистическая сторона дела не совпадает с психологической больше, чем при использовании любого из других критериев.
Пример 2
В тренинге профессиональных наблюдателей допускается, чтобы наблюдатель ошибался в оценке возраста ребенка не более чем на 1 год в ту или иную сторону. Наблюдатель допускается к работе, если он совершает не более 15% ошибок, превышающих отклонение на 1 год. Наблюдатель Н допустил 1 ошибку в 50-ти попытках, а наблюдатель К - 15 ошибок в 50-ти попытках. Достоверно ли отличаются эти результаты от контрольной величины?
Определим частоту допустимых ошибок при п = 50:
fтеор=n·Р=50·0,15=7,5
Для наблюдателя Н fэмп<fтеор. Для наблюдателя К fэмп>fтеор
Сформулируем гипотезы для наблюдателя Н.
H0: Количество ошибок у наблюдателя Н не меньше, чем это предусмотрено заданной величиной.
H1: Количество ошибок у наблюдателя Н меньше, чем это предусмотрено заданной величиной.
В данном случае Р=0,15<0,50; fэмп>fтеор.
Этот случай попадает под вариант Б Табл. 5. 12. Нам придется применить критерий у}, сопоставляя полученные эмпирические частоты ошибочных и правильных ответов с теоретическими частотами, составляющими, соответственно, 7,5 для ошибочного ответа и (50-7,5)=42,5 для правильного ответа. Подсчитаем χ2 по формуле, включающей поправку на непрерывность24:
По Табл. IX Приложения 1 определяем критические значения χ2 при v=l:
Ответ: H0 отвергается. Количество ошибок у наблюдателя Н меньше, чем это предусмотрено заданной величиной (р≤0,05)
Сформулируем гипотезы для наблюдателя К.
H0: Количество ошибок у наблюдателя К не больше, чем это предусмотрено заданной величиной.
H1: Количество ошибок у наблюдателя К больше, чем это предусмотрено заданной величиной.
В данном случае Р=0,15<0,5; fэмп>fтеор. Этот случай подпадает под вариант А Табл. 5.12. Мы можем применить биномиальный критерий, поскольку n=50.
По Табл. XV Приложения 1 определяем критические значения при п=50, Р=0,15, Q=0,85:
Ответ: H0 отвергается. Количество ошибок у наблюдателя Н меньше, чем это предусмотрено заданной величиной (р<0,05).
Пример 3
В примере 1 параграфа 5.2 мы сравнивали процент справившихся с экспериментальной задачей испытуемых в двух группах. Теперь мы можем сопоставить процент успешности каждой группы со среднестатистическим процентом успешности. Данные представлены в Табл. 5.13.
Таблица 5.13
Показатели успешности решения задачи в двух группах испытуемых
|
Количество испытуемых, решивших задачу |
Количество испытуемых, не решивших задачу |
Суммы | ||
1 группа (n1=20) |
12 |
(60%) |
8 |
(40%) |
20 |
2 группа (п7=25) |
10 |
(40%) |
15 |
(60%) |
25 |
Суммы |
22 |
|
23 |
|
45 |
Среднестатистический показатель успешности в решении этой задачи - 55%. Определим теоретическую частоту правильных ответов для групп 1 и 2:
Для группы 1, следовательно, Р=0,55>0,50; fэмп=12>fтеор. Этот случай соответствует варианту "Д" Табл. 5.12. Мы должны были бы применить критерий χ2, но у нас всего 20 наблюдений: n<30. Ни биномиальный критерий, ни критерий χ2 неприменимы. Остается критерий φ* Фишера, который мы сможем применить, если узнаем, сколько испытуемых было в выборке, по которой определялся среднестатистический процент.
Далее, для группы 2: Р=0,55>0,50; fэмп=10>fтеор. Этот случай соответствует варианту "Е" Табл. 5.12. Мы можем применить биномиальный критерий, если будем считать "эффектом" неудачу в решении задачи. Вероятность неудачи Q=l—Р=1—0,55=0,45. Новая эмпирическая частота составит: fэмп=25-10=15.
Сформулируем гипотезы.
H0: Процент неудач в обследованной выборке не превышает заданного процента неудач.
H1 Процент неудач в обследованной выборке превышает заданный процент неудач.
По Табл. XV Приложения 1 определяем критические значения для n=25, P=0,45, Q=0.55 (мы помним, что Р и Q поменялись местами):
Ответ: H0 принимается. Процент неудач в обследованной выборке не превышает заданного процента неудач.
Сформулируем общий алгоритм применения критерия m.