Ответы:

1. а) , б), в)или . 2.катет – ,гипотенуза или .

3. ,,. 4.. 5. (–2, –5), (0, –3). 6.. 7. 1),,,2),,,. 8.,,. 9. 1)окружность с центром в полюсе и радиусом 16. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3)прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4)прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 12. 5) окружность с центром и радиусом4. 6) окружность с центром и радиусом7. 10. гипербола ,, ,,.

11. ., ,,

12. . 13. нижняя ветвь сопряженной гиперболы: б) в) . 14. а) –22, б) 15, в) –7, г) –2. 15. .

16. . 17.,,,. 18. 4. 19. 6.

20. . 21.. 22..

23. ,. 24.кв. ед.,.

25. . 26.. 27. -10. 28.точки лежат в одной плоскости. 29. куб. ед. 30. 18. 31. .

32. . 33.. 34.. 35.. 36.. 37..

38. ,,.39. . 40.. 41.. 42.. 43.. 44..

45. 1) , 2), 3),

4) , 5).47. ,.

48. ,где .

49. ,,,

. 50. а) , б). 51.,,.

52. а) да, б) нет. 53. . 54.нет. 55. а) отражение трехмерного пространства относительно начала координат, б) поворот трехмерного пространства на угол против часовой стрелки, проходящей через начало координат и составляющей с координатными осями равные острые углы. 56. Оператор линейный;

–его матрица в базисе ,,,.

57. ,,.

58. Собственные значения:,,,собственные векторы: для,где,для,где ,для ,где .

ВАРИАНТ №20

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Даны две смежные вершины квадрата А(2, 1) и В(4, 3). Вычислить его площадь.

2. Даны три вершины А(1, 5), В(10, 14), С(9, –1) параллелограмма АВСD, четвертая вершина D противоположна В. определить длину диагоналей этого праллелограмма.

3. Найти координаты точки М₁, сииметричной точке М₂(–1, 3) относительно прямой, проходящей через точки А(7, 4), В(4, 2).

4. Даны вершины треугольника А(7, 4), В(4, –6), С(8, –3). Составить уравнение его высот.

5. Отрезок, ограниченный точками А(5, –3) и В(11, 0), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны две вершины А(–2, –3) и В(6, –7) треугольника АВС и точка N(5, –3) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

7. Точка А(2, 0) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон этого квадрата.

8. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из вершин А(2, –2) и уравнения двух медиан .

Указание. Убедиться, что точка Аи точкаА. Пустьи- вершины треугольника, расположеные на медианахисоответственно, а точкии- середины отрезков АВ и АС соответственно. Далее следует найти координаты вершинВ и С треугольника. Так как точки М и С лежат на медиане , то. Затем из соотношениянайдите; далее подставив численное значениев уравнение для, найдите. Затем, знаяи, найдитепо формуле. Далее подставив численное значениев уравнение для, найдите, из соотношениянайдите. Наконец, зная координаты всех вершин треугольника, найдите общие уравнения его сторон.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а); б); в); г);

д) ; е).

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы и найти координаты ее центра и полуоси, если известно, что левая вершина гиперболы находится в правом фокусе эллипса: , при этом правая вершина гиперболы находится в вершине параболы, эксцентриситет гиперболы равен.

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(4, 2) вдвое меньше расстояния от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от дои придаваязначения через промежуток; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б), в), г).

15. Даны векторы: ₁=(1, 3, 2); ₂=(0, –1, –1); ₃=(–2, 0, 1); =(–4, 8, 9) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(3, 4, 2).

17. Два вектора =(–2, 3, –6)и =(1, –2, 2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.

18. Найти проекцию вектора =(3, –1, –2) на направление вектора =(–1, 2, 2).

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осямииуглы,, а с осьютупой угол.

20. Дан квадрат ABCD (обозначение вершин принято по ходу часовой стрелки), длина стороны которого равна . ТочкаО выбрана в плоскости квадрата так, что ,. Найти.

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы осьбыла направлена по вектору, а осьнаправить в сторону расположения квадрата;

б) подсчитав длину диагонали квадрата, убедиться (по теореме Пифагора), что- прямоугольный (), а поэтому;

в) найти координаты вектора , найти координаты векторови(очевидно), используя равенство, найти координаты вектора;

г) зная координаты векторов и, найти, где,.

21. Векторы иявляются сторонами параллелограммаОАСВ. Точка N – середина стороны ВС. Найти .

22. Дано ,,. Найтии величину угла между векторамии, если.

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если =(3, –4, 2), .

24. Даны вершины треугольника А(–1, 3, –1), В(2, 1, 5) и С(–4, 2, 7). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вектор , ортогонален к осии вектору (–2, 3, 1) и образует с осью острый угол. Найти координаты вектора, если.

26. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если,и.

27. Вычислить смешанное произведение векторов , (–2, 0, 1),(0, 2, 3).

28. В правом базисе заданы векторы:,,. Показать, что эти три вектора не компланарны; установитьориентацию тройки векторов.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(1, 2, 3), В(–1, 5, –3), С(1, 2, 3), D(1, 5, 5).

30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если ,,,,а тройка векторов – левая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(–2, 4, 1), параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(–2, 4, 1) и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(–3, –1, 5) перпендикулярно к двум плоскостям и.

35. Найти расстояние от точкиМ₀(5, 8, 5) до плоскости .

36. Даны вершины треугольника А(6, 0, 2), В(8, 3, 2), С(6, –3, –1). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

37. На оси найти координаты точек, отстоящих от плоскостина расстоянии=6.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(3, –4, –5), параллельно прямой ,,.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

40. Найти проекцию точки Р(2, –1, 6) на прямую ,,.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(–2, 1, 6) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, 6, –1) относительно прямой .

43. Вычислить растояние от точкиР(–1, 5, –3) до прямой .

44. Найти канонические уравнения прямой , которая проходит через точкуМ₀(0, –1, 2) параллельно плоскости и пересекает прямую.

Указание. Использовать последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости , проходящей через точкуМ₀, параллельную плоскости ;

б) найти координаты точки М₁ пересечения прямой с плоскостью(см. задачу 39);

в) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки М₀ и М_1.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(–1, –1, 5), А₂(1, 4, 2), А₃(4, 1, 1), А₄(2, 3, 6). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) ,,,;

б),,,,;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А=, В=, С=.

50. Найти ранг матриц:

а) ; б).

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех вещественных матриц второго порядка вида , где;

б) множество всех вещественных матриц второго порядка вида , где;

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если =(2, –1, 2),=(1, –2, 2),=(2, –1, 1),=(1, 2,).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 2, 0, –1),=(2, 1, 1, 1),=(1, 2, 4, –1),=(2, 4, 4, –2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно ортонормированного базисаимеют вид:

а) ; б).

56. В пространстве Р₂ всех многочленов степени вида, гдеоператордействует так:. Доказать, что операторлинеен и найти его матрицу в базисе,,.

57. В обычном пространстве линейный оператор зеркально отражает векторы относительно прямой, а линейный операторортогонально проецирует векторы на плоскость. Найти матрицы линейных операторов,,в базисе.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .