58

ВАРИАНТ №15

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Даны вершины треугольника А(2, 4), В(–1, 2), С(3, 5). Составить уравнения его высот.

2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х–2у+7=0, х–2у+22=0 и уравнения одной из его диагоналей 7х+у–11=0. Найти координаты точек пересечения диагонали с этими сторонами и уравнения двух других сторон прямоугольника.

3. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина сторон квадрата равна .

4. Даны последовательно вершины выпуклого четырехугольника

А(–2, –1), В(4, 7), С(8, 4), D(–1, –8). Определить уравнения его диагоналей и координаты точки пересечения его диагоналей.

5. Отрезок, ограниченный точками А(8, 2) и В(11, 8), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны середины сторон треугольника: М₁(–2, 7), М₂(1, 9), М₃(–1, 2). Составить уравнения его сторон.

7. Найти расстояние от точки А(–3, 4) до прямой, проходящей через точки М₁(–4, 6) и М₂(–2, 9).

8. Точка А(–1, 2) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х–2у+10=0. Найти площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) б)в)г)д)

е)

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть .

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(6, 5), чем от оси ординат. Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13 Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная отдои придаваязначения через промежуток; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители, базис в пространстве, координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б), в), г).

15. Даны векторы: ₁=(2, –1, 3); ₂=(5, 0, –2); ₃=(–2, 1, –1); =(–7, 1, 5) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(–3, 2, –2).

17. Два вектора =(7, –6, –6) и =(–4, 7, 4) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.

18. Найти проекцию вектора на направление вектора =(–3, 0, 4).

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осямииуглы,, а с осьютупой угол.

20. В равнобедренном треугольнике OAB ()точка C делит сторону AB в отношении 1:4 (считая от вершины A). Найти угол между векторами и, если=60.

Указание. Использовать последовательность действий:

А) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точкеО так, чтобы ось была направлена по основанию ов треугольника;

б) найти в этой системе координаты векторов и;

в) подсчитать величину искомого угла по формуле

где - орт вектора,=.

21. В прямоугольном треугольнике ABC (),,. Найти.

22. Дано ,,,. Найтии.

23. Найти координаты векторного произведения и его длину, если =(4, –3, 4), .

24. Даны вершины треугольника А(6, –2, –2), В(8, –4, –5), С(10, –2, 4). Найти площадь треугольника и длину его высоты, опущенной из вершины В.

25. Найти координаты вектора , перпендикулярного векторами, еслии векторсоставляет с осьютупой угол.

26. Вычислить , если,,.

27. Вычислить смешанное произведение векторов ,,.

28. В правом базисе заданы векторы:,

, . Показать, что эти векторы не компланарны, установить ориентацию тройки.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(–1, 10, –1), В(3, 4, 3), С(3, 9, 1), D(2, 12, 6).

30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если,,,, а тройка векторов– правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно двум плоскостям:,.

35. Найти расстояние от точкидо плоскости.

36. Найти параметрические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей и.

37. Даны вершины треугольника А(–1, 5, –3), В(2, 5, 1), С(1, 6, –1). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельной прямой.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

40. Найти проекцию точки на прямую.

41. Найти координаты точки , симметричной точкеотносительно плоскости.

42. Найти координаты точки , симметричной точкеотносительно прямой.

43. Вычислить расстояние от точкидо прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой , которая проходит через точкуи пересекает прямыеи.

Указание. Использовать последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора к плоскости, проходящей через точкуи прямую, взяв векторное произведение, где (3, –2, –1) – направляющий вектор прямой ,– точка прямой(см. задачу №32);

б) аналогично найти координаты нормального вектора к плоскости, проходящей через точкуи прямую, взяв векторное произведение, где (2, 3, –5) – направляющий вектор прямой ,– точка прямой;

в) найти координаты направляющего вектора искомой прямой, взяв векторное произведение.

г) составить канонические уравнения искомой прямой , проходящей через точкув направлении вектора.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(4, 5, 5), А₂(3, 5, 4), А₃(2, 3, 6), А₄(3, 1, 9). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) ,,;

б) ,,;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные оиператоры

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А=, В=, С=.

50. Найти ранг матриц:

а) ; б).

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Будет ли вещественным линейным пространством:

а) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ;

б) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида .

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если =(4, 3,),=(2, 4, 6),=(3, 1, 4),=(2, 1, 3).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 3, 1, 3),=(2, 0, 1, 2),=(4, 1, 0, 0),=(5, 4, 1, 3).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид:

а) ; б).

56. В пространстве задан оператор так:, где,. Проверить линейность оператораи найти его матрицу в базисе.

57. В пространстве линейный операторзеркально отражает векторы относительно прямой, а линейный операторортогонально проецирует векторы на плоскость. Найти матрицу операторав базисе.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .