Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вологодский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лекция 43

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2015

Размер:

230.91 Кб

Скачать

☆

Лекция 43

Лекция 43. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Определения и общие свойства. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 1. Дифференциальное уравнение n – го порядка называется линейным, если оно является уравнением первой степени относительно совокупности искомой функции у и её производных т.е. имеет вид

, (1)

где и f(x) – заданные функции от х или постоянные, причем для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (1).

В дальнейшем мы будем предполагать, что функции и f(x) непрерывны при всех значениях х, причем коэффициент а₀=1. ( если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него ). Функция f(x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если , то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение имеет вид

(2)

и называется линейным однородным. Левая часть этого уравнения является однородной функцией первой степени относительно

Основные свойства линейных однородных уравнений.

Теорема 1. Если y₁ и y₂ – два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

(3)

то y₁ + y₂ есть также решение этого уравнения.

Доказательство. Так как y₁ и y₂ - решения уравнения, то

и . (4)

Подставляя в уравнение (3) сумму y₁ + y₂ и принимая во внимание тождества (4), будем иметь

где y₁ + y₂ есть решение уравнения.

Теорема 2. если y₁ есть решение уравнения (3) и С – постоянная, то Су₁ есть также решение уравнения (3)

Доказательство. Так как y₁ - решения уравнения, то . Подставляя в уравнение (3) выражение Су₁ , получим

что и требовалось доказать.

Определение 2. Два решения уравнения (3) y₁ и y₂ называются линейно независимыми на отрезке , если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если . В противном случае решения называются линейно зависимыми.

Иными словами, два решения y₁ и y₂ называются называются линейно независимыми на отрезке , если существует такое постоянное число , что при . В этом случае .

Пример 1. Рассмотрим уравнение . Легко проверить, что функция являются решениями этого уравнения. При этом функции линейно независимы на любом отрезке, т.к. не является постоянным при изменении х. Функции линей но зависимы, т.к. .

Определение 3. Если y₁ и y₂ суть функции от х, то определитель

называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.

Определитель Вронского имеет много различных свойств. Нам для доказательства теоремы об общем решении уравнения (3) потребуется следующее свойство:

Теорема 3. Если определитель Вронского , составленный для решений y₁ и y₂ линейного однородного уравнения (3), не равен нулю при каком-нибудь значении x=x₀ на отрезке , где коэффициенты уравнения непрерывны, то он не обращается в нуль ни при каком значении х на этом отрезке.

С его помощью мы докажем теорему:

Теорема 4. Если y₁ и y₂ – два линейно независимых решения уравнения (3), то

(5)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, есть его общее решение.

Доказательство. Из теорем (1) и (2) следует, что функция есть решение уравнения (3) при любых значениях С₁ и С₂.

Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия ,, можно так подобрать значения произвольных постоянных С₁ и С₂, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям. Подставляя начальные условия в равенство (5), будем иметь

, , (6)

где обозначено

, , , .

Из системы (6) можно определить С₁ и С₂, так как определитель это системы

есть определитель Вронского при x=x₀ и, следовательно, не равен 0 ( в силу линейной независимости решений y₁и y₂ ). Частное решение получится из семейства (5) при найденных значениях С₁ и С₂, удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует.

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Имеем линейное однородное уравнение второго порядка

(7)

где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, достаточно, как было показано выше, найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде

, где k – const; (8)

тогда

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (7), находим: .

Так как , то, значит,

. (9)

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (7), то будет решением уравнения (7). Уравнение (9) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (7).

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня: .

Возможны следующие случаи:

1) k₁ и k₂ – действительные и притом не равные между собой числа ;

2) k₁ и k₂ – действительные равные числа .

3) k₁ и k₂ – комплексные числа;

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны: . В этом случае частными решениями будут функции

Эти решения линейно независимы, так как

Следовательно, общий интеграл имеет вид .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Находим корни характеристического уравнения:

Общий интеграл есть .

2) Корни характеристического уравнения действительны и равные: . Одно частное решение получается на основании предыдущих рассуждений. Нужно найти второе частное решение линейно независимое с первым (функция тождественно равна и поэтому не может рассматриваться в качестве второго частного решения).

Будем искать второе частное решение в виде: , где u(x) – неизвестная функция, подлежащая определению.

Дифференцируя, находим

Подставляя выражения производных в уравнение (7), получаем

Так как k₁ – кратный корень характеристического уравнения, то . Кроме того, или .

Следовательно, для того чтобы найти u(x), надо решить уравнение или . Интегрируя, получаем u=Ax+B. В частности, можно положить A=1,B=0; Тогда u=x. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять:

Это решение линейно независимо с первым, так как

Поэтому общим интегралом будет функция .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение: .

Находим корни характеристического уравнения: . Общим интегралом будет .

3) Корни характеристического уравнения комплексные. Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим:

где .

Частные решения можно записать в форме

(10)

- это комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (7). Перепишем комплексные решения (10) в виде суммы действительной и мнимой части.

Очевидно, что если какая-либо комплексная функция действительного аргумента удовлетворяет уравнению (7), то этому уравнению удовлетворяют функции u(x) и v(x). Тогда частными решениями уравнениями (7) будут действительные функции