Lektsii_Chast3

§ 4. Фотоэффект

Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта. Открытие фотоэффекта сыграло важную роль в становлении квантовой теории.

Различают фотоэффекты: внешний, внутренний и вентильный.

Внешним фотоэффектом называется испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения.

Внешний фотоэффект наблюдается в твердых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а так же в газах.

Фотоэффект был обнаружен в 1887 г. Г.Герцем. Первые фундаментальные исследования фотоэффекта выполнены русским ученым А. Г. Столетовым.

Установка для исследования фотоэффекта.

Установка состоит из двух электродов: К - катод из исследуемого металла и А - анод. Электроды находятся в вакуумной трубке и подключены к батарее. С помощью потенциометра R можно изменять не только значение, но и знак, подаваемого на электроды напряжения. Катод освещается через кварцевое окошко светом. Возникающий при этом ток измеряется миллиамперметром.

Вольтамперная характеристика (ВАХ) фотоэффекта - зависимость фототока Iф, образуемого потоком электронов, испускаемых катодом под действием света, от

напряжения U между электродами, при различной освещенности Ee катода.

Описание вольтамперной характеристики фотоэффекта.

По мере увеличения напряжения U фототок постепенно возрастает, т.е. всё большее число фотоэлектронов достигает анода. Пологий характер кривых показывает, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Максимальное значение тока - фототок насыщения Iнас - определяется таким значением напряжения, при котором все электроны, испускаемые катодом

достигают анода. При U=0 фототок не исчезает, следовательно, электроны, выбитые светом из катода, обладают некоторой начальной скоростью V0 и начальной кинетической энергией Wк0 0 и они могут достигнуть анода без внешнего поля. Для того, чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение Uз, при котором ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью Vmax, не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. Измерив задерживающее напряжение Uз, можно определить Vmax и Wк max:

mV 2

max eU з .

2

41

При изучении ВАХ разнообразных материалов и обобщения полученных данных были установлены три закона внешнего фотоэффекта:

I.Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности падающего света (Iнас~освещенности катода).

II.Максимальная кинетическая энергия Wк max фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, и определяется только его частотой , а именно Wк mах линейно возрастает с увеличением частоты.

III.Для каждого вещества существует «красная граница» фотоэффекта, т.е. минимальная частота 0 света, зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности, при которой свет любой интенсивности фотоэффекта не вызывает.

§ 5. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

Фотоэффект необъясним с точки зрения волновой теории света. A. Эйнштейн в 1905 г. показал, что явление фотоэффекта и его закономерности могут быть объяснены на основе предложенной им квантовой теории. Согласно Эйнштейну, свет частотой не только испускается, как это предполагал Планк, но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами). Таким образом, распространение света нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток дискретных световых квантов, движущихся со скоростью распространения света в вакууме с. Эти кванты электромагнитного излучения получили название фотонов.

По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально интенсивности света (1-й закон фотоэффекта).

По закону сохранения энергии энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода Авых из металла и на сообщение

mV 2

вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии max . 2

- работа выхода – это работа, которую нужно затратить для удаления электрона из металла в вакуум. Ее существование можно объяснить следующими причинами:

1.В том месте, которое электрон покинул, выходя из металла, возникает избыточный положительный заряд, и электрон притягивается к нему.

2.Отдельные электроны, покидая металл, удаляются от него на небольшое расстояние порядка атомных и создают над поверхностью металла

«электронное облако».

Это «облако» вместе с наружным слоем положительных ионов решетки образует двойной электрический слой, который препятствует выходу свободных электронов из металла.

Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить 1-й, 2-й и 3-й законы фотоэффекта. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона линейно

42

возрастает с увеличением частоты падающего излучения и не зависит от его интенсивности (числа фотонов), так как ни Авых ни от интенсивности света не зависят (2-й закон фотоэффекта).

Так как c уменьшением частоты света кинетическая энергия Wк фотоэлектронов уменьшается (для данного металла Aвых=const), то при некоторой малой частоте 0 кинетическая энергия фотоэлектронов станет равной нулю Wк=0 и фотоэффект прекратится. Тогда: h 0=Aвых. Отсюда следует «красная граница» фотоэффекта:

0 Aв ых .

h

Она зависит лишь от работы выхода электрона, т.е. от химической природы вещества и состояния его поверхности.

Тогда уравнение Эйнштейна можно записать в виде: h( 0 ) eU з .

Измерив частоты , 0 и запирающее напряжение Uз, можно найти

Значение h, полученное из опытов, согласуется с результатами измерений h по тепловому излучению. Это подтверждает правильность уравнения Эйнштейна и его квантовой теории фотоэффекта.

Внутренний фотоэффект - это вызванные электромагнитным излучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу. При этом концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновению фотопроводимости - повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика при его освещении.

Вентильный фотоэффект - возникновение фотоЭДС при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). Таким образом, вентильный фотоэффект позволяет преобразовывать солнечную энергию в электрическую.

§ 6. Фотон и его характеристики

Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, поглощается и распространяется дискретными порциями (квантами), названными

фотонами.

Энергия фотона: h .

Масса фотона находится из закона взаимосвязи массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме

E mC 2 .

Это фундаментальный закон природы. В полную энергию E входит энергия покоя E0=m0c2 и кинетическая энергия T и не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле: E=E0+T=m0с2+T.

Отсюда масса фотона: mф E h . c2 c2

43

Фотон - элементарная частица, которая всегда движется со скоростью света с и имеет массу покоя , равную нулю. Это отличает фотон от таких частиц как электрон, протон и др., которые могут существовать, двигаясь со скоростями,

Отсюда следует, что фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом.

Выражения для энергии фотона =h , массы фотона mф= h и импульса

c2

характеристикой света - его частотой (или ).

§ 7. Эффект Комптона

Наиболее полно корпускулярные свойства света проявляются в явлении, которое получило название эффекта Комптона.

Американский физик А.Комптон, исследуя в 1923 г. рассеяние монохроматичного рентгеновского излучения (10-2 102 Ǻ) веществами с легкими атомами (парафин, бор), обнаружил, что в составе рассеянного излучения, наряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается так же излучение более длинных волн.

Введём обозначения: - длина волны падающего излучения;- длина волны рассеянного излучения;- разность длин волн.

Опыты показали, что разность длин волн не зависит от длины волны падающего излучения и природы рассеивающего вещества, а определяется только величиной угла рассеяния

Все особенности эффекта Комптона можно объяснить, рассматривая рассеяние как процесс упругого столкновения рентгеновских фотонов (или -излучения, т.е. коротковолнового электромагнитного излучения) с практически свободными электронами вещества (для легких атомов электроны слабо связаны с ядрами атомов). В процессе этого столкновения фотон передает электрону часть энергии и импульса и

изменяет направление движения (рассеивается). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны рассеянного излучения:

Покоящийся свободный электрон обладает энергией покоя W0=m0c2, где m0 - масса

44

Электрон приобретает импульс pe=mV и энергию W=mc2 и приходит в движение. Согласно законам сохранения энергии и импульса:

Масса пришедшего в движение электрона связана с его скоростью соотношением:

Возведя энергетическое уравнение в квадрат, вычитая уравнение импульсов и учитывая формулу массы, получим: m0c2 ( ) h (1 cos ) .

электрона е =2,426 nм.

Наличие в составе рассеянного излучения «несмещенной» линии можно объяснить следующим образом. Если электрон сильно связан с атомом (внутренние электроны), то фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом. Так как масса атома по сравнению с массой электрона очень велика, то атому передается ничтожная часть энергии фотона. Комптоновское смещение в этом случае ничтожно и практически совпадает с .

Эффект Комптона не может наблюдаться в видимой области спектра, поскольку энергия фотона видимого света сравнима с энергией связи электрона с атомом, при этом даже внешний электрон нельзя считать свободным.

Эффект Комптона наблюдается не только на электронах (me=9·10-31 кг), но и на других заряженных частицах, например, протонах, но из-за большой массы протона (mр=1,67·10-27 кг) его отдача заметна лишь при рассеянии фотонов очень высоких энергий.

Эффект Комптона, как и фотоэффект обусловлен взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае, взаимодействие со свободным электроном и в результате фотон рассеивается, а во втором случае - взаимодействие со связанными электронами и фотон поглощается.

45

§ 8. Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения

Рассмотренные явления - излучение черного тела, фотоэффект, эффект Комптона - служат доказательством квантовых (корпускулярных) представлений о свете, как о потоке фотонов. С другой стороны, такие явления, как интерференция, дифракция и поляризация света, убедительно подтверждают волновую природу света. А такие явления, как давление и преломление света, объясняются как волновой, так и квантовой теориями. Таким образом, электромагнитное излучение обнаруживает единство непрерывных (волновых) и дискретных (фотоны) свойств, которые взаимно дополняют друг друга.

Свет, обладая одновременно корпускулярными и волновыми свойствами, обнаруживает закономерности в их проявлении. Чем больше длина волны, тем меньше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются квантовые свойства света (с этим связано, например, существование «красной границы» фотоэффекта). Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаружить волновые свойства света (например, дифракцию рентгеновского излучения можно обнаружить лишь на кристалле).

46

§ 2. Соотношение неопределённостей

Двойственная корпускулярно-волновая природа частиц вещества ставит вопрос о границах применимости понятий классической физики для объектов микромира.

В классической механике каждая частица движется по определенной траектории так, что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы, из-за наличия у них волновых свойств, существенно отличаются от классических частиц. Нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить об одновременно точных значениях ее координаты и импульса.

Вспомним: расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны , или длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период. Таким

образом, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны p=f( ), то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс полностью неопределенный.

В. Гейзенберг пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координат (x, y, z) и

соответствующих проекций импульса (px, py, pz):

x px hy p y h ,z pz h

т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую составляющую импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием двойственной корпускулярно-волновой природы.

Таким образом, соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Рассмотрим движение пылинки, электрона в электронно-лучевой трубке и электрона в атоме. С какой степенью точности можно говорить о траекториях этих микрочастиц? Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени координатой и скоростью. Из соотношения неопределенностей

x px h и определения импульса p=mV следует: x Vx mh . То есть чем больше масса частицы m, тем меньше неопределенность ее координаты и скорости.

48

Следовательно, можно пользоваться понятием траектории, а значит и законами классической механики.

1)Пусть пылинка имеет массу m=10-12 кг, линейные размеры 10-6 м, координата ее определена с точностью 0,01 ее размеров: x=10-8 м. Тогда неопределенность

координата и скорость могут быть определены достаточно точно одновременно. Значит можно пользоваться законами классической физики.

2) Рассмотрим пучок электронов, двигающихся вдоль оси х со скоростью V=108 м/с. Скорость определяется с точностью до 0,01%, т.е. Vx=104 м/с. Рассчитаем

говорить о движении электрона по определенной траектории.

3)Иной результат получается, если электрон движется в атоме со скоростью V~106 м/с. Неопределенность или точность определения положения электрона порядка размеров самого атома: x~10-10 м=1 Å. Тогда неопределенность скорости:

В этом случае уже нельзя представлять электрон как механическую частицу и нельзя говорить об орбите электрона.

§3. Волновая функция и её статистический смысл

С1900 г., когда Планком была сформулирована квантовая гипотеза, начинается период создания квантовой механики. Развитие квантовой механики связано с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика Гейзенберга и английского физика П. Дирака.

любой точностью и между ними существуют однозначные связи. Закономерности, в которых связи всех физических величин являются однозначными, называются динамическими. Они представляют собой первый низший этап в процессе познания мира. Следующим этапом познания являются статистические закономерности. В них однозначно связаны лишь вероятности обнаружения определенных значений тех или иных физических величин, связи между самими физическими величинами неоднозначны.

В квантовой механике основной характеристикой состояния является волновая функция (x,y,z,t) - величина, полностью описывающая состояние микрообъекта и вообще любой квантовой системы (например, кристалла). Описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, т.е. вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами x и

(x+dx), y и (y+dy), z и (z+dz):

W~ (x,y,z,t)|2.

49

Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна: dW=| |2dV.

нахождения частицы в единичном объеме, в окрестности точки с координатами x, y, z. Саму волновую функцию называют амплитудой вероятности.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V:

W dW 2 dV .

V V

Если за объем V принять все бесконечное пространство, то вероятность того, что частица находится где-то в пространстве, должна быть равна 1. Тогда условие нормировки вероятностей:

2 dV 1 .

Волновая функция должна удовлетворять следующим условиям:

1)должна быть конечной (вероятность не может быть >1);

2)однозначной (т.к. определяет состояние частицы);

3)непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

§ 4. Уравнение Шредингера

Основное уравнение квантовой механики, описывающее движение микрочастиц в различных силовых полях, было сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике, уравнения Максвелла для электромагнитных волн) не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается на опыте.

Общее уравнение Шредингера:

мнимая единица, Ер(x,y,z) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (x,y,z,t) - искомая волновая функция частицы.

Это уравнение можно упростить, исключив зависимость волновой функцииот времени. Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. Ер=Ер(x,y,z) не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний (с фиксированными значениями энергии):

2m2 E E p 0 ,

где E - полная энергия частицы.

Уравнения такого типа имеют однозначные, конечные и непрерывные решения не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых дискретных

50