Lektsii_Chast3

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Это уравнение линейное неоднородное. Решение его находится как сумма общего

2

Фаза вынужденных колебаний: arctg .

02 2

График вынужденных колебаний:

при установлении колебаний общее решение S1 играет существенную роль. В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими. Амплитуда A и фаза колебаний зависят от частоты .

§ 6. Резонанс

Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего фактора к частоте резонансной.

резонансные свойства колебательной системы: чем больше добротность Q, тем больше резонансная амплитуда Aрез .

11

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных коэффициентах затухания :

Чем меньше коэффициент затухания , тем выше и правее максимум амплитуды. При 0

, амплитуда A 0. Явления резонанса могут

быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин необходимо, чтобы собственная

частота их колебаний не совпадала с частотой возможных внешних воздействий. В противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать разрушение.

С другой стороны, резонанс используется в радиотехнике, прикладной акустике. Если частота исследуемых слабых колебаний совпадает с собственной частотой прибора, то эти колебания можно обнаружить.

§ 7. Волны

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной)

возбудить колебания ее частиц, то, вследствие взаимодействия между частицами, это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью V.

Частицы среды не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь колеблются около своих положений равновесия.

В зависимости от направления колебаний частиц (вдоль или перпендикулярно) по отношению к направлению распространения волны,

различают продольные и поперечные волны.

Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые части пространства.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется

волновой поверхностью.

Волновых поверхностей можно провести бесконечно много, а фронт волны для момента времени t один.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно, волна называется плоской или

сферической.

Основным свойством всех волн независимо от их природы (механические, электромагнитные волны) является перенос энергии без переноса вещества. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности

12

потока энергии. Этот вектор для упругих или механических волн называется вектором Умова (русский ученый, решивший задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Изобразим график зависимости смещения частиц от расстояния до источника колебаний r в данный момент времени (r,t) .

Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды.

Или длиной волны называется расстояние между ближайшими точками

среды, колеблющимися с разностью фаз

2 .

VT или V ,

где - длина волны; T - период колебаний; - частота колебаний.

Уравнение волны – зависимость смещения колеблющейся частицы от ее координат и времени:

(x, y, z,t) .

Выведем уравнение волны. Пусть волна плоская, колебания гармонические, а

(x, t) Acos (t Vx ) .

Вобщем случае добавляем начальную фазу 0 :

фазу равную нулю;

13

r - расстояние от источника в направлении распространения волны; k - волновое число.

Повторяя рассуждения для сферической волны, можно получить уравнение сферической волны: (r,t) Ar0 cos( t kr 0 ) , где r - расстояние от центра

волны до рассматриваемой точки среды. Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием от источника по закону ~ 1r .

Волна, распространяясь в среде, переносит с собой энергию W .

Энергия, переносимая волной в единицу времени через некоторую поверхность, называется потоком энергии: Ф dWdt . Ф =Дж/с=Вт.

Величина, равная энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку в направлении нормали к ней, называется интенсивностью:

J dФ . J =Вт/м2=Дж/(с м2). dS

Волна одной определенной и строго постоянной частоты называется

монохроматической.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это принцип суперпозиции волн.

Две волны или два источника называются когерентными, если разность фаз создаваемых ими колебаний с течением времени не изменяется.

Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

Звуковыми или акустическими волнами называются распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16-20000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука.

Электромагнитные волны – это взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью V и несущие с собой энергию. Электромагнитная волна является поперечной.

электрический вектор.

14

Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату ее амплитуды:

I~ Em2 .

Ввакууме скорость распространения электромагнитных волн С 3 108 м/с. В веществе скорость распространения электромагнитных волн меньше, чем в вакууме.

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла и подтверждается опытами Герца. Источником электромагнитных волн может быть любой электрический колебательный контур или проводник, по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменное электрическое поле или переменное магнитное поле.

15

Глава 4.2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

Оптика – раздел физики, изучающий свет и его взаимодействие с веществом. Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как

электромагнитная волна, в других – как поток особых частиц (фотонов.).

Волновая оптика рассматривает круг явлений, в основе которых лежит волновая природа света.

Свет – электромагнитные волны с длинами, лежащими в оптическом диапазоне, включающем в себя инфракрасный, видимый и ультрафиолетовый участки электромагнитного спектра.

Длины волн видимого света: (4,0 7,6) 10 7 м; частоты:

(3,9 7,5) 1014 Гц.

Световая волна в вакууме распространяется со скоростью С 3 108 м/с, в среде будет зависеть от показателя преломления среды.

Абсолютный показатель преломления среды – есть отношение скорости

Пусть в некоторую точку пространства приходят две плоские монохроматические волны с одинаковой частотой и одинаковым направлением

Сложение колебаний произведем по методу векторных диаграмм. По теореме косинусов:

Em2 Em21 Em2 2 2Em1Em2 cos ,

где 02 01 - разность фаз колебаний.

Явление пространственного перераспределения энергии излучения при наложении двух или нескольких световых волн называется интерференцией света.

Если cos 0 , то интенсивность света будет максимальной. Следовательно, условие максимума интенсивности света при интерференции имеет вид: 2m

при m 0, 1, 2,...

16

Условие минимума интенсивности света при интерференции: (2m 1) . Пусть одна волна распространяется в среде с абсолютным показателем

Расстояние, на которое свет распространился бы в вакууме за то время, за которое он проходит в среде расстояние от одной точки до другой, называется оптической длиной пути. Она находится как произведение геометрической длины пути на абсолютный показатель преломления среды: S nr .

Разность оптических длин путей двух световых лучей называется разностью

min (2m 1) 20 .

Регулярное чередование областей повышенной и пониженной интенсивности света, получающееся при интерференции, называется интерференционной картиной.

Полоса в интерференционной картине, непрерывно проходящая через точки, имеющие одинаковую разность хода лучей, называется интерференционной полосой.

При наличии постоянной разности фаз налагающихся волн наблюдается стационарная интерференционная картина.

Если разность фаз возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени, то волны называются когерентными.

В случае некогерентных волн разность фаз непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение cos 0 , поэтому I I1 I 2 . В случае когерентных волн cos имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, так что: I I1 I 2 2I1I 2 cos .

Из сказанного вытекает, что при освещении какой-либо поверхности несколькими источниками света (например, двумя лампочками) должна, казалось бы, наблюдаться интерференционная картина с характерным чередованием максимумов интерференционная минимумов интенсивности. Однако, из повседневного опыта известно, что никакой интерференционной картины не наблюдается. Это объясняется тем, что естественные источники не когерентны. Реальные световые волны не являются монохроматическими, так как испускаются они множеством независимых микроскопических излучателей (возбужденных

17

атомов). Поэтому излучение занимает некоторый диапазон частот и фаза результирующей волны изменяется хаотически.

§ 2. Способы получения когерентных источников

Для осуществления интерференции света необходимо получить когерентные световые волны. До появления лазеров когерентные волны получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника.

1. Метод Юнга.

Источником света служит ярко освещенная щель, от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные, расположенные на малом расстоянии (d≈1мм) друг от друга, щели. Эти щели играют роль когерентных источников. Интерференционная картина наблюдается на

экране, удаленном на расстоянии L≈1м от двух источников.

2. Зеркала Френеня.

Свет от источника S падает расходящимся пучком на два плоских зеркала, расположенных относительно друг друга под углом, немного отличающимся от 180 . Угол мал. Световые пучки, отразившиеся от обоих зеркал, можно считать выходящими из мнимых источников S1 и S2 , которые являются мнимыми изображениями источника S в зеркалах. Мнимые источники S1 и S2 взаимно

когерентны, лучи, исходящие из них интерферируют. Интерференционная картина наблюдается на экране, защищенном от прямого попадания света непрозрачным экраном.

18

3. Бипризма Френеля.

Бипризма Френеля состоит из двух одинаковых сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников S1 и S2 , являющихся когерентными.

§ 3. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источника

Из рисунка следует, что (по теореме Пифагора):

r22 L2 (x d2 )2

Вычтем из 1-го уравнения 2-ое: (r2 r1 )(r2 r1 ) 2xd . r12 L2 (x d )2

2

19

Если в наблюдаемой точке минимум интенсивности света то, используя

§ 4. Интерференция в тонких пленках

4.1. Полосы равного наклона.

Рассмотрим прозрачную плоскопараллельную тонкую пластину с показателем преломления n2, на которую падает пучок монохроматического света. В результате отражения света от верхней и нижней граней возникают две когерентные волны. Если их свести вместе при помощи линзы, они будут интерферировать. Разность хода этих лучей:

S1n (S2 20 ) .

Здесь учтено, что при отражении от оптически более плотной среды в точке А фаза волны изменяется на радиан, что равноценно потере полуволны 0 2 .

Выполним расчеты:

20