Тема 18 Уравнение неразрывности течения

Уравнение неразрывности течения (сплошности потока) в интегральной форме в случае одномерного приближения принимает вид уравнения постоянства расхода:

 для слобосжимаемой (или трудносжимаемой) жидкости ( = const) это уравнение постоянства объёмного расхода Q, м³/с:

Q = v × , (18.1)

где v – средняя скорость в живом (поперечном) сечении потока, м/с;

 – площадь живого (поперечного) сечения потока, м².

Объёмный расход потока вдоль по течению неизменен.

 для сжимаемой жидкости (  const) это уравнение постоянства массового расхода Q_m, кг/с:

Q_m =  × v × , (18.2)

где  – плотность жидкости, кг/м³.

Массовый расход потока вдоль по течению неизменен.

Тема 19 Уравнение Бернулли (энергии) для элементарной струйки невязкой несжимаемой жидкости

В элементарной струйке сечениями 1-1 и 2-2 выделим некоторую массу жидкости и составим уравнение кинетической энергии (Е_к) для этой массы (рис. 41).

За время dt выделенная масса жидкости переместится и займёт положение 1-1, 2-2. Рассмотрим между сечениями три объёма: (a), (b) и (c). По условиям сплошности масса объёма (a) равна массе объёма (b).

Рисунок 41

Приращение кинетической энергии при перемещении массы жидкости из положения 1-1, 2-2 в положение 1-1, 2-2:

=  .

При установившемся движении кинетическая энергия массы жидкости в объёме (с) в момент времени t равна кинетической энергии массы жидкости в объёме (с) в момент времени t+t:

=

Тогда для всей выделенной массы

=  . (19.1)

Кинетическая энергия массы жидкости в объёме (b) равна:

= ;

dm =  × d₂ × dl₂ =  × d₂ × u₂ × dt;

=  × d₂ × u₂ × dt × . (19.2)

Аналогично, кинетическая энергия массы жидкости в объёме (а) равна:

=  × d₁ × u₁ × dt × . (19.3)

После подстановки (19.2) и (19.3) в выражение (19.1) получаем

=  × d₂ × u₂ × dt ×   × d₁ × u₁ × dt × . (19.4)

Для невязкой жидкости к выделенному объёму приложены силы тяжести, давления жидкости на боковую поверхность, силы давления на торцевые площадки ₁ и ₂.

Поскольку жидкость несжимаема, внутренняя энергия рассматриваемого объёма не меняется при его перемещении и в уравнение кинетической энергии входит только работа внешних сил.

При перемещении массы из положения 1-1, 2-2 в положение 1-1, 2-2 вес жидкости в объёме (с) работу не совершает и работу сил тяжести можно вычислить как работу перемещения из объёма (а) в (b).

Сила тяжести равна:

G = g × dm = g ×  × dV =  × g × d₁ × u₁ × dt.

Работа сил тяжести

G × (z₁ – z₂) =  × g × d₁ × u₁ × dt × (z₁ – z₂). (19.5)

Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы нормальны к этой поверхности.

Работа сил давления на торцы равна разности:

р₁ × d₁ × u₁ × dt – р₂ × d₂ × u₂ × dt. (19.6)

Таким образом, приращение кинетической энергии (19.4) за счёт работы сил тяжести (19.5) и внешнего давления (19.6) имеет вид

 × d₂ × u₂ × × dt   × d₁ × u₁ × × dt =

=  × g × d₁ × u₁ × (z₁ – z₂) × dt + р₁ × d₁ × u₁ × dt – р₂ × d₂ × u₂ × dt.

Разделим на dt и сгруппируем

 × g × d₁ × u₁ × z₁ + р₁ × d₁ × u₁ +  × d₁ × u₁ × =

=  × g × d₁ × u₁ × z₂ + р₂ × d₂ × u₂ +  × d₂ × u₂ × .

Заменим u₁ × d₁ = dQ, u₂ × d₂ = dQ и разделим обе части последнего уравнения на   g  dQ.

Имеем

z₁ + +=z₂ + +. (19.7)

Это уравнение Бернулли в форме напоров для элементарной струйки между сечениями 1-1 и 2-2.

Поскольку сечения взяты произвольно, то в общем виде уравнение имеет вид:

z + +=const. (19.8)

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли в форме напоров имеет размерность длины (м) и представляет собой энергию, отнесённую к единице веса (1 Н), то есть удельную энергию. Здесь z – удельная потенциальная энергия положения, –удельная потенциальная энергия давления, –удельная кинетическая энергия.

Уравнение Бернулли в форме давлений имеет вид:

 × g × z + р +  × =const. (19.9)

Здесь каждый член имеет размерность давления (Па) и представляет собой энергию, отнесённую к единице объёма. Здесь  × g × z – гравитационное давление, р – статическое давление,  × –динамическое давление.

Уравнение Бернулли имеет третью форму представления – основное уравнение Бернулли:

g × z + +=const. (19.10)

Каждое слагаемое в уравнении (19.10) характеризует энергию, отнесённую к единице массы (Дж/кг). При этом размерность каждого члена уравнения (м²/с²).