Тема 4 Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

Выберем внутри покоящейся жидкости параллелепипед с рёбрами, параллельными координатным осям 0x, 0y, 0z и равными соответственно dx, dy и dz (рис. 7).

Рисунок 7 – К выводу дифференциального уравнения равновесия текучего тела

Составим уравнения равновесия этого параллелепипеда в виде уравнений проекций сил на координатные оси:

 F_x = 0;  F_y = 0;  F_z = 0

Проектируя силы на ось 0x имеем:

 F_x = dF – dF + dGcos = 0, (4.1)

где dG – равнодействующая массовая (объёмная при  = const) сила;

, ,  – углы, образованные равнодействующей массовой силой dG с координатными осями 0x, 0y и 0z соответственно;

dF и dF – поверхностные силы, действующие на грани ABCD и ABCD.

Поверхностные силы dF и dF равны:

dF = р × dy × dz; (4.2)

dF =р × dy × dz,

где р и р – средние гидростатические давления на площадки ABCD и ABCD соответственно.

Гидростатическое давление является функцией координат и при переходе от грани ABCD к грани ABCD изменяется только координата x. Следовательно, можем записать:

р = р + × dx,

и сила dF равна

dF = (р + × dx) × dy × dz. (4.3)

Проекция массовой силы равна:

dG  cos = dm × j × cos =  × dV × j × cos =  × dx × dy × dz × j × cos,

где j – ускорение массовой силы.

Обозначим проекции ускорения внешней массовой силы на координатные оси 0x, 0y и 0z:

X = j × cos;

Y = j × cos;

Z = j × cos.

Проекция массовой силы равна:

dG  cos =  × dx × dy × dz × X. (4.4)

Подставляя в уравнение (4.1) уравнения (4.2), (4.3) и (4.4), запишем:

р × dy × dz – (р + × dx) × dy × dz +  × X × dx × dy × dz = 0.

Получаем уравнение проекций сил на ось 0x в виде:

– +  × X = 0.

Аналогично можно получить и уравнения проекций сил на оси 0y и 0z. Система уравнений равновесия жидкости (уравнения гидростатики Эйлера) запишется в виде:

– +  × X = 0;

– +  × Y = 0; (4.5)

– +  × Z = 0.

Таким образом, для равновесия массы жидкости необходимо, чтобы сумма всех внешних поверхностных и массовых сил, или их проекций на координатные оси равнялась нулю.

Умножив каждое из уравнений (4.5) соответственно на dx, dy и dz и сложив, получим:

× dx + × dy + × dz =  × X × dx +  × Y × dy +  × Z × dz.

Так как давление р зависит только от трёх независимых переменных координат x, y, z, левая часть последнего уравнения представляет собой полный дифференциал функции р = f(x, y, z):

dp = × dx + × dy + × dz.

Тогда

dp =  × (X × dx + Y × dy + Z × dz). (4.6)

Уравнение (4.6) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики.