. (2)

Чтобы найти по этому уравнению , необходимовыражать через переменную.

Пример 3. Имеется прямоугольная закрытая станина с длинами верхней и нижней поперечин,и длинами стоек. Известны площади поперечных сечений,,, а также осевые моменты инерции площадей сечений,,поперечин и стоек (рис. 18). Требуется найти напряжения в элементах станины.

Решение: Учитывая, что для поперечин , а для стоек, по уравнению (2) определяем:

т. е.

.

Эпюра моментов строится по уравнению

Для прямоугольной станины с одинаковыми моментами инерции поперечин, т. е. симметричной относительно вертикальной и горизонтальной осей, определяем при допущении, что:

.

Момент в стойке после преобразований

.

Рассмотрим напряжения, возникающие в середине верхней поперечины и стойке станины при нагружении (табл. 2)

Таблица 2

Напряжения в элементах прямоугольной закрытой станины

Элемент станины	Волокно
	Наружное	Внутреннее
Поперечина	(растяжение)	(сжатие)
Стойка		(растяжение)

Примечание: ,— моменты сопротивления изгибу для поперечных сечений по внутренним и наружным волокнам (табл. 3)

Таблица 3

Геометрические характеристики плоских сечений

Сечение	Площадь	Осевой момент инерции	Момент сопротивления изгибу

Примечание. — диаметр круглого наружного поперечного сечения;— внутренний диаметр поперечного сечения;— ширина прямоугольного поперечного сечения;— длина прямоугольного поперечного сечения;— площадь поперечного сечения;— момент сопротивления изгибу для площади поперечного сечения

Напряжения наружного и внутреннеговолокон для каждого элемента станины должны быть меньше допускаемых.

Метод А.А. Королева основан на разрезании станины на четыре свободные 2-опорные балки — две поперечины и две стойки. Это необходимо для определения статически неопределимых моментов (рис. 19).

Для учета влияния жестких углов в соединениях поперечин со стойкой к концам иотрезанной балкиприкладываются фиктивные моментыи, после чего система становится статически определимой.

Из курса сопротивления материалов известно, что угол наклона касательной к изогнутой оси в точке опоры балки (угол поворота поперечного сечения балки) равен опорной реакцииот фиктивной моментной нагрузки, деленной на жесткость балки:

,

где — осевой момент инерции площади поперечного сечения балки.

Угол поворота торцевого сечения верхней поперечины выражается разностью, поскольку прогиб от вертикальной силы Y и от фиктивных моментов направлены в противоположные стороны:

.

Это относится и к нижней поперечине:

Вертикальная стойка станины длиной изгибается внутрь окна станины фиктивными моментамии.

Фиктивные опорные реакции

;

.

Углы поворота торцевых сечений стойки

;.

Поскольку опоры ив углах жесткой рамы принадлежат как поперечинам, так и стойке, углы поворота торцевых сечений должны быть равны между собой, т. е.;.

Моменты, действующие в верхних и нижних углах жесткой рамы

;,

где ;.

Кривые (рис. 20) показывают, как возрастает отношение моментов с увеличением параметра.

Пример 4.Рассчитать на прочность закрытую станину рабочей клети стана 2000 холодной прокатки. Станина изготовлена из литой стали марки 35Л (предел прочности) и имеет значительные закругления в углах для уменьшения концентрации напряжений. На каждую поперечину станины действует сила17 МН. Известны форма и размеры опасных поперечных сечений станины (рис. 21).

Площади поперечных сечений (табл. 4)

;

;

.

Осевые моменты инерции поперечных сечений

;

;

где— координата центра тяжести площади сечения;

,

где — статический момент площади сеченияотносительно оси;

.

Моменты сопротивления поперечных сечений изгибу

;

;

,

.

Длина нейтрального волокна верхней и нижней поперечин станины

;

.

Длина стойки станины по нейтральному волокну

;

.

Статически неопределимый момент

Напряжения в опасных сечениях станины

;

;

.

Таблица 4

Напряжения в элементах закрытой станины с закруглениями в углах

Сечение	Геометрические характеристики			Напряжение, , МПа	Запас прочности,
	0,96	0,115	0,192	38,5	15,6
	0,68	0,041	0,096	17,3	34,7
	1,29	0,19	0,275	30,1	19,9
	0,8	0,067	0,133	—	—

Примечание: — запас прочности, — площадь поперечного сечения; — осевой момент инерции площади поперечного сечения; — момент сопротивления изгибу для площади поперечного сечения

Условие прочности выполняется для всех элементов станины, так как расчетные коэффициенты запаса прочности больше допускаемого .

;

;

.

Наиболее слабым местом станины является нижняя поперечина.

Графоаналитический метод применяется для расчета закрытой станины сложной формы. Это метод приближенного интегрирования. Нейтральное волокно станины от точки А до точки B разбивается на 11…16 участков (рис. 22).

Знаки интегралов в (3) заменяются конечными суммами

Числитель этого выражения можно представить графически площадью под кривой , построенной в координатных осях, ординатой которых является текущее значение, а абсциссой — текущее значение суммы членов. В целом данная площадь образуется суммой площадок, каждая из которых равна текущему значению произведения. Значениеравно средней ординате площади под кривой. Момент в любом сечении представляется эпюрой моментов, имеющей начало координат в точке, отстоящей от первоначальной оси абсцисс на расстоянии _.

Расчет можно сократить путем предварительного построения эпюры моментов от единичной силы , которая для получения окончательной эпюры моментов умножается на величину. Средняя ордината площади под кривой, соответствующая этой эпюре моментов от единичной силы, численно равна плечуотносительно сечения станины, где момент равен нулю.

Расчет станины открытого типа на прочность выполняется с учетом того, что верхняя поперечина (крышка) соединена со стойками наружным замком, который не препятствует стойкам деформироваться внутрь станины от действия силы на нижнюю поперечину (рис. 23).

Деформируясь внутрь станины, стойки зажимают подушку верхнего валка. Силу , действующую на стойку станины со стороны подушки, определяют из условия: прогиб стойки станины равен зазору между подушкой и стойкой:

Если прогиб стойки меньше величины зазора , силане возникает. Из-за износа деталей величина не является постоянной. Поэтому стойки станины рассчитывают из условия максимальной силы, возникающей, когда, а поперечины станины, наоборот, — при условии, что.

В составной станине изгибающие моменты, возникающие в ригелях, не передаются стойкам, что значительно повышает их устойчивость в сжатом состоянии. Расчет составных станин на прочность сводится к расчету на растяжение ленты и сжатие стоек.

Жесткость станины определяется через расчет ее упругой деформации:

. (3)

При изменяющейся во время прокатки силе , упругая деформация станиныможет оказаться столь значительной, что прокатанная полоса будет иметь разнотолщинность больше допусков размеров по толщине. Кроме того, недостаточная жесткость станины может привести к заметным колебаниямпри переходных процессах, обусловленных захватом полосы валками.

Рассмотрев прочностные расчеты станин различных типов, перейдем к порядку определения прогибов. Упругая деформация станины в вертикальном направлении является суммой деформаций прогиба верхней и нижней поперечин, а также деформации растяжения стойки станины (см. рис. 19):

,

где

;

;

определяют из (3).