Теорема 17.1. (о существовании допустимого плана).

Для того чтобы ТЗ имела допустимые планы, необходимо и достаточно выпол-нение равенства

(17.1.5.)

Модель ТЗ называется закрытой, если суммарный объем груза, имеющегося у поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т.е. выполняется равенство

.

Если для ТЗ выполняется одно из условий:

или ,

то модель задачи называется открытой.

Для разрешимости ТЗ с открытой моделью необходимо преобразовать ее в закры-тую. Так, при выполнении условия необходимо ввести фиктивный -й пункт назначения , т.е. в матрице задачи предусматривается дополнительный столбец. Спрос фиктивного потребителя полагают равным небалансу, т.е. , а все тарифы – одинаковыми, чаще всего равными нулю .

Аналогично при выполнении условия вводится фиктивный поставщик , у которого запас груза равен , а тарифы дополнительной строки распределительной таблицы равны нулю, т.е. .

При преобразовании открытой задачи в закрытую целевая функция не меняется, так как все слагаемые, соответствующие дополнительным перевозкам, равны нулю.

17.2. Построение исходного опорного плана.

Построение опорных планов, а также преобразование их проводят непосредственно в распределительной таблице. Если в плане перевозок переменная равна некоторому числу , то это число записывают в соответствующую клетку и считают ее занятой (или базисной), если же , то клетку оставляют свободной. При этом число занятых клеток должно быть равно , а остальные клеток будут свободными.

Для построения начального опорного плана в распределительной таблице исполь-зуют такие правила и методы, как правило «северно-западного угла», правило «мини-мального элемента», метод Фогеля.

Рассмотрим правило «минимального элемента». Суть его состоит в следующем. Просматривая тарифы распределительной таблицы, в первую очередь заполняется клетка с минимальным значением тарифа. При этом в клетку записывается максимально возмож-ное значение поставки. Затем из рассмотрения исключают строку, соответствующую по-ставщику, запасы которого полностью израсходованы, или столбец, соответствующий потребителю, спрос которого полностью удовлетворен. После этого из оставшихся клеток таблицы снова выбирают клетку с наименьшим тарифом. Процесс распределения закан-чивается, когда все запасы поставщиков исчерпаны, а спрос потребителей полностью удовлетворен. В результате получаем опорный план, который должен содержать загруженных клеток. В процессе заполнения таблицы могут быть одновременно исклюю-чены строка и столбец. Так бывает, когда полностью исчерпывается запас груза и пол-ностью удовлетворяется спрос (вырожденная задача). В этом случае в свободные клетки надо записать число 0 – «нуль-загрузку», условно считая такую клетку занятой. Однако число 0 записывается в те свободные клетки, которые не образуют циклов с ранее заня-тыми клетками.

После построения начального опорного плана ТЗ возникает вопрос: как опреде-лить, будет ли построенный план оптимальным? Чтобы ответить на этот вопрос, необхо-димо знать признак оптимальности. Для этого разработан метод потенциалов, который опирается на теорему о потенциалах.

Каждому поставщику (ограничению по запасам) поставим в соответствие число , а каждому потребителю (ограничения по спросу) – число . Числа и называются потенциалами соответственно i-го поставщика и j-го потребителя.

Следующую теорему о потенциалах примем без доказательства.