Горяйнов / ivanova

F2(x) соответственно, то функция распределения их суммы 1 + 2 может быть посчитана по формуле:

Z x

F (x) = F1(x y)dF2(y) (2)

0

Применяя формулу (2) несколько раз, мы можем посчитать функцию распределения суммы любого числа слагаемых. Если 1 и 2 - непрерывны, то обычно работают с плотностями f1(x), f2(x). Плотность суммы может быть посчитана по формуле

Z x

f(x) = f1(x y)df2(y) (3)

0

Если 1 и 2 - целочисленны, то вместо функции распределения обычно работают с распределениями

p1(n) = P( 1 = n); p2(n) = P( 2 = n):

Распределение суммы p(n) = P( 1+ 2 = n) может быть определено по формуле:

После подсчета свертки последовательностей p1(n) и p2(n) удобно образовать матрицу вида:

p1(0)p2(0) p1(0)p2(1) p1(0)p2(2) : : :

p1(1)p2(0) p1(1)p2(1) p1(1)p2(2) : : :

p1(2)p2(0) p1(2)p2(1) p1(2)p2(2) : : :

: : : : : : : : : : : :

Таким образом, элемент (i; j) этой матрицы равен произведению p1(i)p2(j). Суммируя по линиям i + j = k, параллельным главной диагонали, получим

p1(k)p2(0) + p1(k 1)p2(1) + : : : + p1(0)p2(k);

т. е. в точности p(k).

Подсчет вероятности разорения часто упрощается, если использовать производящие функции (для дискретных величин) или преобразования Лапласа (для произвольных неотрицательных величин) [7].

Если слагаемые Xi имеют дискретное распределение, независимы и одинаково распределены, то они имеют одну и ту же производящую функцию

g(z) = P1 P(Xi = k) zk. Соответственно, их сумма имеет производящую

k=0

функцию:

11

Отбирая коэффициенты при степенях z, получаем таблицу для вероятностей p(n).

Модель коллективного риска базируется на следующих упрощающих предположениях:

1.Анализируется фиксированный относительно короткий (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования) промежуток времени;

2.Плата за страховку вноситься полностью в начале анализируемого периода, никаких поступлений в течение этого периода нет;

3.Поступающие иски Y1; Y2; : : : не связываются с конкретными договорами, а рассматриваются как результат суммарного риска компании. Иными словами, Yi - это не иск от i-го договора, а i-ый по порядку реально поступивший иск; случайные величины Yi - независимы, одинаково распределены, строго положительны.

4.В качестве суммарной характеристики портфеля рассматривается не число заключенных договоров N, а общее число исков за рассматриваемый период. Случайные величины и Y1; Y2; : : : - независимы.

Так же, как и в модели индивидуального риска, в модели коллективного риска разорение определяется суммарным иском

S = Y1 + : : : + Y

к страховой компании. Вероятность разорения компании определяется также и равна

Обозначим = P( = n) - распределение числа исков. Поскольку случайные величины ; Y1; Y2; : : : - независимы, а

P(Y1 + : : : + Y > W j = 0) = P(0 > W ) = 0;

мы получим

1

X

R = P(Y1 + : : : + Yn > W ) n

n=1

Вероятности P(Y1+: : :+Yn > W ) могут быть определены с помощью сверток

(2). Если Yi - непрерывны, то

Z 1

P(Y1 + : : : + Yn > W ) = fY1+:::+Yn(x)dx;

W

12

где fY1+:::+Yn(x) - плотность суммы Y1 +: : :+Yn. В этом случае предпочтительнее использовать формулу (3) и записывать вероятность разорения в виде

Z 1

R = fSn(x)dx;

W

где

1

X

fSn(x) = nfY1+:::+Yn(x)

где

pY1+:::+Yn(k) = P(Y1 + : : : + Yn = k)

распределение суммы Y1 + : : : + Yn. В этом случае использовать формулу (4) и записывать вероятность разорения в виде

распределение суммарного иска.

Как уже отмечалось, вычисления с суммами упрощается, если использовать производящие функции (для дискретных величин) или преобразования Лапласа (для произвольных неотрицательных величин) [7].

Обозначим через

1

X

(z) = nzn = E[z ]

n=0

производящую функцию числа исков, а через

Z 1

'(s) = e sxdP(Yi < x) = E[esYi]

0

преобразование Лапласа величины предъявленного иска (поскольку все предъявляемые иски одинаково распределены, '(s) не зависит от номера i).

13

Тогда для преобразования Лапласа (s) = E[esS ] суммарного иска имеем:

(7) Из формулы (7) дифференцированием по s в точке s = 0 можно получить следующие формулы

Предположим, что число исков имеет распределение Пуассона со средним :

i = P( = i) = i e ; i = 0; 1; 2; : : :

i!

В этой ситуации распределение величины суммарного иска S называется составным пуассоновским распределением [7].

Параметр исходного пуассоновского распределения i и распределение

F (x) иска Y называют параметрами составного пуассоновского распределения.

Преобразования Лапласа величины S может быть получено из (7) при

(z) = e (z 1):

где '(s) преобразование Лапласа величины предъявленного иска.

Если Yi - дискретные с производящей функцией g(z), то составное пуассоновское распределение также является дискретным и его производящая функция дается формулой:

Самым эффективным методом точного расчета распределения Pn = P(S = n) составного пуассоновского распределения с дискретным распределением pn величины предъявляемых исков является использование следующей рекуррентной формулы:

14

Предположим, что число исков имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами p и , т. е.

i = P( = i) = ( + 1) : : : ( + i 1)qip ; i = 0; 1; 2 : : : ; i!

где q = 1 p.

В этой ситуации распределение величины суммарного иска S называется

составным отрицательным биномиальным распределением [7].

где '(s) - преобразование Лапласа величины предъявленного иска. Параметры p и исходного отрицательного биномиального распределения

i и распределение F (x) иска Y называют параметрами составного отрицательного биномиального распределения.

Если Yi - дискретные с производящей функцией g(z), то составное отрицательное биномиальное распределение также является дискретным и его производящая функция дается формулой:

Для моментов составного отрицательного биномиального распределения из общих формул (8), (9), имеем

Каждое составное отрицательное биномиальное распределение можно рассматривать как составное пуассоновское распределение с определенным образом подобранными параметрами.

Справедлива следующая рекуррентная формула для расчета распределения суммарного иска:

где pi- распределение величины предъявляемых исков.

В связи с этими моделями чаще всего ставятся и решаются две взаимосвязанные задачи:

15

1.вычисление распределения суммарного иска, т. е. суммы всех выплат (убытков) страховщика (по итогам страховой деятельности по всему страховому портфелю (в рамках индивидуальной модели) или по итогам деятельности в течение некоторого интервала времени (в рамках коллективной модели));

2.вычисление (или оценка) страховых премий, обеспечивающих заданную (обычно близкую к 1) вероятность неразорения страховщика. Под разорением понимается событие, при котором сумма страховых выплат страховщика в некоторый момент времени оказывается больше суммы его начального резерва и суммы собранных страховых премий; под страховой премией понимается только та часть полного взноса страхователя (бруттопремия), которая зачисляется в страховой фонд, то есть в фонд, предназначенный для покрытия будущих страховых выплат.

16

§ 3. Оптимизация начального капитала

Задача оптимизации начального капитала рассматривается как в моделях индивидуального, так и в моделях коллективного рисков.

Классический подход к решению задачи о минимизации капитала состоит

вследующем:

вмомент t = 0 компания имеет некоторый начальный капитал u0 = u. К моменту T1 = t1 предъявления первого иска капитал вырастет (за счет поступления премий) до величины u + ct1. Однако, в момент T1 компания оплатит иск величиной X1 и резервы уменьшаться до величины u + ct1 X1. К моменту T2, предъявления второго иска, резервы увеличатся на сумму c(T1 T2) = ct2 и составят u + ct1 X1 + ct2 = u + c(t1 + t2) X1. В момент T2 предъявляется иск величиной X2 и резервы уменьшаются до величины u + c(t1 + t2) (X1 + X2).

Этот процесс продолжается до бесконечности, если только в момент предъявления некоторого иска средств компании не хватит, чтобы оплатить иск. В этом случае мы говорим о разорении компании. Итак, в рамках этой модели компания не разорится, если

u + cTn (X1 + : : : + Xn) 0; n = 1; 2; : : :

Если же

u + ct1 X1 0;

u + c(t1 + t2) (X1 + X2) 0;

: : :

u + c(t1 + tn 1) (X1 + : : : + Xn 1) 0;

но

u + c(t1 + tn) (X1 + : : : + Xn) < 0;

то в момент Tn предъявления n-го иска компания разорится.

Основной характеристикой этой модели является вероятность разорения R = R(u), а основная проблема изучение зависимости этой вероятности от величины начального резервного фонда u. К сожалению само R(u) явно найти не удается. Известны лишь асимптотические оценки для R(u) которые так же сложно вычисляются, типичным примером является следующая асимптотика:

здесь - относительная страховая надбавка; m = EXi - среднее значение предъявленного иска(где X1; X2 : : : независимые и одинаково распределенные случайные величины; r - характеристический коэффициент (определяется как положительное решение характеристического уравнения (относительно z) EezX = 1 + (1 + )mz); функция (z) = EezX - преобразование Лапласа величины иска.

17

В нашей выпускной работе предлагается принципиально другой подход к определению оптимального значения начального капитала.

Рассмотрим задачу оптимизации начального капитала страховой компании на временном промежутке времени [0; T ] с точки зрения минимизации средних издержек. Такая постановка аналогична задачам теории управления запасами.

Пусть в момент t = 0 страховая компания резервирует начальный капитал в размере u. В актуарной литературе u также называют начальным рисковым резервом. В моделях коллективного риска количество поступивших исков за время [0; t] моделируется как пуассоновский процесс Nt; t 0. Выплаты по искам рассматриваются как последовательность X1; X2; : : : независимых одинаково распределенных случайных величин. Тогда суммарные страховые выплаты, произведенные до момента времени t, составят:

Nt

X

St = Xi

i=1

Величина премий C(t), собранных к моменту времени t, предполагается детерминированным, а не случайным, процессом. Как правило, полагают C(t) = ct, где c - интенсивность заключения договоров страхования.

Как и в задачах теории управления запасами, здесь возникают издержки двух видов. Во - первых, это издержки, связанные с переменной стоимостью денег и резервированием капитала. Их можно представить величиной:

u(erT 1);

где r - непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка. Второй вид издержек связан с нехваткой денежных средств компании, чтобы рассчитаться по предъявленным искам. Пусть q(t) - издержки в момент времени t на единицу средств в единицу времени из-за нехватки денег при необходимости выплаты по суммарному иску. Тогда суммарные издержки J(u) страховой компании за время T можно представить в виде:

Z T

J(u) = u(erT 1) + q(t)(Yt u)+dt;

0

Где Yt = St C(t). Соответственно, средние суммарные издержки компании будут определяться равенством:

Z T

rT +

J(u) = EJ(u) = u(e 1) + q(t)E(Yt u) dt;

0

Во многих ситуациях можно считать, что случайные величины Xi являются абсолютно непрерывными. Тогда для каждого t 2 [0; T ] случайная величина

18

Yt имеет распределение, которое описывается плотностью ft(x). При сделанных предположениях средние суммарные издержки страховой компании можно преобразовать следующим образом:

Z T

rT

J(u) = EJ(u) = u(e 1) + q(t)E((Yt u)IfYt ug)dt =

0

Z T Z T

= (erT 1) + q(t)EYtIfYt ug)dt u q(t)P(Yt > u)dt =

0 0

Z T Z 1 Z T Z 1

= u(erT 1) + q(t)dt xft(x)dx u q(t)dt xft(x)dx

0 u 0 u

Необходимое условие для оптимального значения u начального капитала страховой компании будет определяться из уравнения:

0

J (u) = 0:

Замечая, что

Z T Z T Z 1 Z T

0 rT

J (u) = e 1 u q(t)ft(u)dt q(t)dt ft(x)dx + u q(t)ft(u)dt =

0 0 u 0

ZT

=erT 1 q(t)P(Yt > u)dt;

0

Приходим к уравнению

Z T

q(t)P(Yt > u)dt = erT 1:

0

Таким образом получен следующий результат:

Предложение 1. В условиях модели коллективного риска пусть Yt = St

C(t), где St - текущий суммарный иск, а C(t) - поступления от премий к моменту времени t. Допустим так же, что q(t) - издержки в момент времени t на единицу средств в единицу времени из-за нехватки денег при необходимости выплаты по суммарному иску. Тогда значение u начального оптимального капитала на период времени T определяется как корень уравнения:

Z T

q(t)P(Yt > u)dt = erT 1;

0

где r - непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка.

19

Этот результат позволяет так же по другому подойти к задаче оптимизации дивидендов (рассчитывая оптимальный уровень начального капитала, к примеру на год, можно излишки выплачивать в качестве дивидендов ).

20