2. Вопросы

1. Случайные величины. Распределение вероятностей.

2. Закон больших чисел. Аксиома измерений. Теорема Бернулли.

3. Совместные и условные распределения

4. Характеристические функции.

5. Центральная предельная теорема.

6. Функции случайной величины.

7. Пуассоновский импульсный процесс.

8. Случайные функции; их задание, непрерывность и стационарность.

9. Моменты случайных функций.

10. Эргодические случайные процессы.

11. Функция автокорреляции случайного процесса.

12. Спектральные характеристики случайных процессов.

13. Корреляционная теория случайных последовательностей.

14. Спектр случайного процесса на выходе линейной системы.

15. Распределение вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы. Теорема о нормализации.

16. Узкополосные гауссовы процессы.

17. Спектр колебаний с флуктуирующей частотой.

18. Спектральное оценивание.

19. Нелинейное безинерциальное преобразование случайных процессов.

20. Марковские процессы. Уравнение Смолуховского.

21. Марковский процесс с дискретными состояниями.

22. Двумерные случайные блуждания.

23. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова.

24. Стохастические дифференциальные уравнения. Случайные функции с независимыми при­ращениями.

25. Усреднение точного решения стохастического дифференциального уравнения.

26. Уравнение для средних и его связь с уравнением ФПК.

27. Тепловой шум в линейных диссипативных системах. Теорема Найквиста.

28. Дробовой и фликкер-шум. Шумы полупроводниковых приборов и усилителей.

29. Корреляционные и спектральные характеристики случайного поля.

30. Электромагнитная волна в статистически неоднородной среде..

3. Задачи

1. Установление колебаний в генераторе происходит по экспоненциальному закону A(t) = A₀exp(t), где А₀ - случайная величина. Найти:

а) закон распределения амплитуды колебаний в фиксированный момент времени;

б) закон распределения времени достижения фиксированного значения амплитуды.

2. Найти закон распределения и среднее значение случайного модуля радиуса вектора , если величины x и y независимы и распределены по нормальному закону с нулевыми средними и одинаковой дисперсией ².

3. Найти распределение вероятности случайного сигнала на выходе квадратичного детектора, если на вход подается нормальный шум, а характеристика детектора имеет вид y = x².

4. На цепь, состоящую из последовательно соединенных полупроводникового диода и сопротивления, воздействует стационарный нормальный шум с нулевым средним значением и дисперсией ². Характеристика диода имеет вид:

где u – напряжение на диоде. Определить среднее значение и дисперсию тока в цепи.

5. На резонансный контур воздействует случайный импульс f(t). Найти соотношение между площадями импульса на входе и на выходе контура:

и ,

если он описывается уравнением .

6. Выразить спектр случайного АМ сигнала s(t) = a₀{1 + (t)}cos(₀t + ₀) через корреляционную функцию B() и спектр G() модулирующего процесса (t).

7. Найти спектр случайного ФМ сигнала s(t) = a₀cos{₀t + ₀ + (t)}, если случайная фаза (t) распределена по нормальному закону.

8. На вход ФНЧ с полосой пропускания , описываемого уравнением подаётся шум (t) с нулевым средним и функцией автокорреляции B() = ²exp(–||). Найти мощность флуктуаций на выходе фильтра <x²>. При каком соотношении  и  шум (t) можно считать белым?

9. Показать, что _k = , если ширина спектра  и время корреляции _k определены следующим образом:

.

10. Стационарный случайный процесс x(t) = a₀cos(₀t + ) имеет случайную фазу , распределённую равномерно на интервале [a, b]. Найти корреляционную функцию и спектр этого процесса для случаев, когда a = 0, b = 2 и a = –/2, b = /2.

11. Найти спектр шума на выходе квадратичного детектора, если на его вход подается гауссов шум со спектральной плотностью интенсивности G₁(). Какова форма спектра на выходе, если на входе спектр прямоугольный?

12. На вход перемножителя подаются два статистически независимых стационарных случайных процесса x₁(t) и x₂(t). Выразить спектр сигнала на выходе умножителя через спектры процессов на входах.

13. На вход RC-фильтра с полосой пропускания  подается белый шум. Используя уравнение фильтра , найти мощность флуктуаций на его выходе <x²> .

14. На элемент низкочастотного фильтра воздействует внешняя сила, случайным образом изменяющая параметр фильтра. Исходя из уравнения фильтра определить порог параметрической нестабильности для первого момента m₁ = <x>. Получить уравнение для момента m_n = <xⁿ>. Определить порог параметрической нестабильности для m_n.

15. Найти стационарное распределение вероятности для процесса x, удовлетворяющего уравнению , и вычислить стационарные значения моментов m_n = <xⁿ>.

16. Найти отношение сигнал/шум на выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания  описываемого уравнением , если на вход подается аддитивная смесь белого шума (t) с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t+)> = 2G₀() и полезного сигнала s(t) = s₀ = const. Под отношением сигнал/шум понимать отношение мощности полезного сигнала и мощности шума <x²(t)> на выходе системы.

17. Найти отношение сигнал/шум на входе и выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания h, описываемого уравнением , если на вход подается сигнал f(t) = a₀cos{₀t + ₀) + (t). Спектральная плотность мощности шума (t) равна G_() = G₀²/(² + ²).

18. На вход RC-фильтра с полосой пропускания  подается белый шум (t) с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t+)> = 2G₀(). Используя уравнение фильтра найти мощность и корреляционную функцию флуктуаций на его выходе.

19. На вход узкополосного фильтра с полосой пропускания 2 и резонансной частотой ₀ подается белый шум с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t + )> = 2C(). Используя уравнение фильтра найти мощность <x²> и корреляционную функцию <x(t)x(t + )> флуктуаций на выходе.

20. Найти флуктуационную энергию магнитного поля в последовательном RLC колебательном контуре.

21. На вход идеального усилителя с частотной характеристикой K(j) = K₀/(1 + j) подключена после­до­ва­те­ль­ная RLC-цепь. Найти мощность флуктуаций на выходе усилителя.

22. Найти показания вольтметра в режиме измерения действующего значения напряжения, подключенного к выходу реального усилителя с частотной характеристикой K(j) = K₀/(1 + j). Ко входу усилителя подключена цепь, состоящая из параллельно соединенных сопротивления R и конденсатора С. Известно, что приведённое ко входу значение шумового напряжения равно λ.

23. Определить собственные шумы (приведённое ко входу значение шумового напряжения) операционного усилителя, если известно, что при подключении на вход резистора R₁ шум на выходе составляет , а при подключении на вход резистора R₂ –

24. Вычислить среднее значение и дисперсию случайного процесса y(t) = A₀cos(₀t + ) + A₁exp(–₀t), если известно, что случайная фаза  распределена равномерно на интервале [0, ], а случайная величина А₁ распределена по Гауссу со средним значением  и среднеквадратичным отклонением .

Программу составил к. ф.-м. н., доцент Никитин А.В.