9. Сформулировать условия, при которых распределение пуассоновского импульсного процесса близко к нормальному.

-пуассоновский процесс нормальный, когда семииварианты характеристической функции начиная с m=3 малы: .

10. Сформулировать теорему Кемпбелла для пуассоновского импульсного процесса.

Если импульсы имеют одинаковую высоту, то есть _i = a, на основе выражения для первого момента и дисперсии

получим:

.

Эта пара соотношений называется теоремой Кэмпбелла.

11. Дать определения непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и стационарности случайной функции.

Случайной функцией с параметром t называется функция, значение которой при любом , является случайной величиной. Если параметр t имеет смысл времени будем называть случайную функцию случайным процессом, если t имеет смысл координаты, то будем называть случайную функцию случайным полем.

Случайная функция называется непрерывной в среднеквадратичном смысле, если

.

Этот предел часто обозначают следующим образом:

.

Случайная функция называется непрерывной по вероятности, если ее среднее арифметическое в любой момент времени сходится к математическому ожиданию:

.

Наконец, случайная функция называется непрерывной почти наверняка, если

.

Дифференцируемость случайной функции – существование в каком-либо смысле предела приращения функции к приращению аргумента

.

Интегрируемость случайной функции определяется как существование в каком-либо смысле частичных сумм

.

12. Дать определение коэффициента корреляции случайной функции.

- коэффициент корреляции.

13. Дать определение среднего по времени и записать условие Слуцкого для эргодичности случайного процесса.

- среднее по времени, которое, в свою очередь, также является случайной величиной.

- условием эргодичности Слуцкого для стационарных случайных процессов.

14. Доказать, что функция автокорреляции стационарного случайного процесса ограничена по модулю.

Представим функцию автокорреляции в показательной форме B(t₁,t₂) = |B(t₁,t₂)|exp{j(t₁,t₂)} и рассмотрим при произвольном a случайную величину

Поскольку среднее от квадрата модуля любой величины неотрицательно, а |cos( – a)|  1,

получаем

,

то есть функция автокорреляции ограничена по модулю. Очевидно, для стационарного случайного процесса |B()|  <|(t)|²> = B(0).

15. Сформулировать соотношение неопределенностей и привести минимизирующие его функции.

- соотношение неопределенностей, где - ширина полосы, - интервал корелляции. Доказано, что равенство в выражении реализуется только для гауссовых функции корреляции и спектральной плотности интенсивности:

, , а следовательно гауссовы кривые такого вида являются минимизирующими.

G(i) называется спек­т­ра­льной плотностью интенсивности случайного процесса. Функция автокорреляции В().

16. Дать определение белого шума и привести его функцию автокорреляции и спектральную плотность интенсивности.

Случайный процесс, спектральная плотность интенсивности которого постоянна G(j) = G₀, называется белым шумом.

- спектральная плотность интенсивности на частотах  << 1/_0.

Белый шум во всем частотном диапазоне G(j) = G₀, которому соответствует автокорреляционная функция- . По этой причине белый шум часто называют дельта-коррелированным процессом.