GIS
.pdf
Тема:
Математическая основа карт
Элементы математической основы:
эллипсоидмасштабпроекция,координатные сетки
1/(67)
Эволюция представлений о форме Земли
|
Древние греки |
|
первыми правильно |
|
оценили форму |
|
земной поверхности |
|
(Пифагор) и ее |
Первые представления о форме Земли в Древнем мире |
размер (Эратосфен, |
1% ошибки)
В древние (античные) |
В 17 веке: эллипсоид |
В настоящее время: |
|
времена: сфера |
|||
|
|
||
|
|
Форма Земли |
|
|
|
грушевидная, |
|
|
|
сплюснутая у полюсов |
|
|
|
и выпяченная на |
|
|
|
экваторе |
|
1753 г. - впервые с помощью |
|
||
измерений, проведенных на экваторе |
|
||
и в Арктике, доказано, что Земля |
|
||
сплюснута на полюсах, т.е. имеет |
|
||
форму близкую к форме сжатого |
|
||
эллипсоида |
|
2/(67) |
|
Земля, геоид и эллипсоид |
|
|
|
|||||
Поверхность |
|
|||||||
|
|
|
|
Поверхность |
|
|
||
|
|
|
|
|
суши |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Поверхность геоида, |
|
геоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
совпадающая с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхность |
|||
|
поверхностью океана |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
эллипсоида |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дно океана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Земля |
Геоид |
Эллипсоид |
|
|
|
|
|
|
Земля не обладает формой идеального шара: форма грушевидная, сплюснутая у полюсов, с обширными выпуклостями и вогнутостями, включая поверхность суши и дно океанов.
Геоид - сложная фигура Земли, ограниченная уровенной поверхностью, совпадающей с поверхностью океана в состоянии покоя и равновесия. Иначе говоря, это фигура Земли,
сглаженная до среднего уровня Мирового океана в невозмущѐнном состоянии и условно продолженная под материками. (Уровенная поверхность в геодезии - поверхность, всюду перпендикулярная отвесным линиям, совпадающим с направлением силы тяжести.). Геоид является поверхностью, относительно которой ведѐтся отсчѐт высот над уровнем моря.
Эллипсоид вращения - геометрическое тело, образующееся при вращении эллипса вокруг его малой оси, дает наилучшее геометрическое приближение к геоиду.
3/(67)
ГЕОИД |
Распределение гравитации: самая |
сильная гравитация - в |
«жѐлтых» районах, самая слабая - на синих участках.
Форма геоида намеренно усилена - для большей наглядности различия высот умножены в 10 тысяч раз.
Знание точной формы геоида важно для геодезии - от него измеряют высоты в мире
Земля, геоид и референц-эллипсоид
Референц-эллипсоид - эллипсоид вращения, который наилучшим образом приближен к геоиду и относительно которого выполняются все геодезические вычисления (определение широт, долгот, длин,
площадей) и рассчитываются картографические проекции.
|
Ось вращения |
|
|
|
|
|
|
Параметры эллипсоида: |
|
b |
|
большая полуось (а) |
|
a |
|
малая полуось (b) |
|
|
|
полярное |
сжатие |
|
|
f=(а - b)/а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Экваториальная |
|
|
|
плоскость |
|
|
Вычисление размеров референц-эллипсоидов началось в XVIII в. и продолжается по сей день с применением более совершенных технологий.
малая полуось
Меридиональное сечение
геоида и земного эллипсоида
Для достижения локальной точности (по причине неровности Земли) при |
|
определении местоположения в различных частях земной поверхности |
|
используются разные референц-эллипсоиды. |
5/(67) |
|
|
Референц-эллипсоиды
Существуют:
локальные эллипсоиды -
наилучшим образом согласуются с геоидом на ограниченной части его поверхности:
•в России принят эллипсоид Красовского (c 1946 г.) (на его основе составлены крупномасштабные карты в России), отклонение от геоида на территории Росси не превышает 150 м;
Глобальный
геоцентрический
эллипсоид
Локальный
эллипсоид
ГЕОИД
•в США и Канаде - эллипсоид Кларка (1866г.);
глобальные геоцентрические эллипсоиды - наилучшим образом
согласуются с поверхностью геоида в целом, служат основой для измерения местоположений во всем мире:
•в 1984 г. на основе более точных спутниковых измерений вычислен
международный эллипсоид WGS-84 (World Geodetic System 1984). GPS
измерения основаны на данном эллипсоиде.
•В России сейчас внедряется геоцентрический эллипсоид (ПЗ-90.02), на котором работает система ГЛОНАСС (большая полуось - 6 378 136 м; коэффициент
сжатия - 1/298,25784). |
|
Разница между большой и малой полуосями земных эллипсоидов незначительна и |
|
составляет меньше 0.34 %, около 22 км (для эллипсоида Красовского а = 6 378 245; b |
|
= 6 356 863 м; ) |
6/(67) |
Карты, составленные на основе разных эллипсоидов, имеют несовпадения в местоположении объектов, но они заметны лишь при сравнении крупномасштабных карт.
Несовпадения (100 м - 140 м) в береговой линии, заметные при сравнении
крупномасштабных карт, созданных на основе различных
эллипсоидов.
Для мелкомасштабных карт (от 1:5000000 и
мельче) эллипсоид заменяют равновеликим шаром (шаром, равным по объему эллипсоиду; в России радиус такого шара принят 6371,032 км).
7/(67)
Референц-эллипсоиды
Малая полуось:
•6 356 583 м
•6 356 863 м
•6 356 752 м
Малая полуось
Референц-эллипсоиды:
•Кларка 1866
•Красовского 1940
•WGS-84
Большая полуось
Большая полуось:
• 6 378 206 м
• 6 378 245 м
• 6 378 137 м
Сжатие (а - b)/а в эллипсоидах (в порядке убывания): |
|
||
• |
Кларка (1:294,98) – самое большое сжатие из этих трех эллипсоидов |
|
|
• |
WGS-84 (1:298,257) |
Часто употребляется параметр обратный |
|
• |
Красовского (1 : 298,3 ) |
сжатию, например: 1/f= 294.98 |
8/(67) |
|
|
|
|
Масштаб карт - cтепень уменьшения объектов на карте относительно их размеров на земной поверхности (эллипсоиде).
Масштаб на плоской карте изменяется от места к месту
из-за неизбежных деформаций, связанных с переходом от сферической поверхности Земли к плоскости карты (чем больше территория, показанная на карте, тем больше изменения масштаба). Поэтому существуют 2
разновидности масштаба:
Земная поверхность
Плоскость карты
•Главный масштаб - показывает во сколько раз линейные размеры на карте уменьшены по отношению к эллипсоиду (шару). Подписывается на карте, но справедлив он лишь для отдельных линий и точек, где искажения отсутствуют. Т.е. это масштаб исходного уменьшенного эллипсоида, развертыванием которого в плоскость и получена карта .
•Частный масштаб - показывает соотношение размеров объектов на карте и эллипсоиде (шаре) в данной точке. Выделяют:
частный масштаб длин - зависит от точки на карте и от направления в данной точке, может быть больше или меньше главного;
частный масштаб площадей.
9/(67)
Масштаб
Значения частных масштабов длин на карте (M) измеряют в долях (или процентах) от главного масштаба карты, например M>1, M<1, M=1.
Чем мельче масштаб карты и обширнее территория, тем сильнее различия между главным и частным масштабами.
На карте (в основном) указывается главный масштаб, относящийся к линиям, где нет искажений.
Виды подписей масштаба на карте:
•численный - в виде дроби с единицей в числителе; показывает, во сколько раз длины на карте меньше соответствующих длин на местности
(чем меньше знаменатель, т.е. чем больше дробь, тем крупнее масштаб).
Например, 1:100 000;
•Линейный (графический) - в виде линейки, разделенной на равные части, с подписями, означающими соответствующие расстояния на местности.
•Именованный масштаб - в виде подписи, указывающей, какое расстояние
на местности соответствует одному сантиметру на карте.
Например, в 1 см- 1 км.
10/(67)