82. Запишите уравнение Шредингера и его решение для свободно движущейся частицы.

,

где - оператор Гамильтона ( , а U(r) = 0).

В случае одномерного движения частицы:

. Тогда уравнение Шредингера:

В большинстве случаев частице можно поставить в соответствие волну Де Бройля (плоскую волну):

, ;

В результате подстановки уравнение примет вид:

Обозначим . Тогда уравнение:

является дифференциальным уравнением второго порядка и имеет решение вида:

Волновая функция является суперпозицией двух плоских волн. Одна – движение частицы вдоль оси x, другая – в противоположном направлении.

83. Каков спектр энергий свободно движущейся частицы

Решение уравнения (см. вопрос 45) существует при любых значениях энергии и импульса частицы. Это означает, что энергия свободно движущейся частицы может принимать любые значения, т.е. её энергетический спектр непрерывен.

Кроме этого, можно доказать, что энергия частицы и её импульс являются одновременно измеримыми (надо посчитать коммутатор оператора Гамильтона и импульса и убедиться, что он равен нулю):

84. Что называется потенциальной ямой?

Область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве.

Энергия частицы Е есть сумма её кинетической энергии Т > 0 и потенциальной U. Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия Т₁ меньше глубины ямы U₀, энергия частицы Е₁ = Т₁ + U₁ = Т₁ - U₀ < 0 и частица не может покинуть яму (находится в связанном состоянии). Она двигается в ней с кинетической энергией Т₁, отражаясь от стенок. Если частица находится на дне ямы, то её кинетическая энергия Т₂ = 0 и Е₂ = -U₀ < 0 (частица лежит на дне ямы). Это положение частицы наиболее устойчиво. Если частица вне ямы имела кинетическую энергию Т₃ то она беспрепятственно пересекает яму, преодолевая её с возросшей кинетической энергией Т₃ + U₀.

85. Запишите уравнение Шредингера и его решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Уравнение Шредингера: , где ψ – волновая функция, Е – энергия частицы.

Для случая U = 0, получим или , где a² = 2mE/ ². Это уравнение описывает положение частицы внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение, представляющее собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направления вдоль оси x.

Итак, соотношение для энергии частицы в бесконечной прямоугольной яме: E_n = ²a²/2m = n²π^{2 2}/2mL², где n=1,2,3… Чем больше L, тем расстояние между соседними уровнями энергии меньше.

86. Каков спектр энергий частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками?

-Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях , где n = 1, 2, 3...

-Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.

-Частица не может иметь энергию равную нулю.

-Каждому значению энергии E_n соответствует собственная волновая функция n, описывающая данное состояние.

87. Запишите уравнение Шредингера и его решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Уравнение Шредингера: , где ψ – волновая функция, Е – энергия частицы.

Для случая U = 0, получим или , где a² = 2mE/ ². Это уравнение описывает положение частицы внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение, представляющее собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направления вдоль оси x.

Итак, соотношение для энергии частицы в бесконечной прямоугольной яме: E_n = ²a²/2m = n²π^{2 2}/2mL², где n=1,2,3… Чем больше L, тем расстояние между соседними уровнями энергии меньше.

85. Каков спектр энергий частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками?

-Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях , где n = 1, 2, 3...

-Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.

-Частица не может иметь энергию равную нулю.

-Каждому значению энергии E_n соответствует собственная волновая функция n, описывающая данное состояние.

86. Что называется потенциальным барьером?

Потенциальный барьер- область пространства в которой потенциальная энергия больше чем в окружающем пространстве.

87. Что называется туннельным эффектом?

Туннельный эффект- преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия меньше высоты барьера. В классической физике данный эффект не возможен.

88. Как зависит коэффициент пропускания потенциального барьера от его ширины?

Коэффициент пропускания, то есть вероятность прохождения,

прямоугольного потенциального барьера шириной d и высотой U для

частицы массой m:

где U - E – превышение высоты барьера над энергией частицы.

89. Как квантовая теория объясняет холодную эмиссию электронов из металла?

Электроны свободно перемещаются по металлу, но покинуть его самопроизвольно не могут. Электроны могут вырываться из металла при сколь угодно низких температурах под влияние сильного электрического поля. Это явление получило название холодной электронной эмиссии.

Электроны выходят из металла за счет туннельного эффекта. Пропускание барьера можно посчитать по формуле

где E - напряженность поля,

90. Как квантовая теория объясняет а распад?

Альфа-распад - вид радиоактивного распада ядра, в результате которого происходит испускание альфа-частицы. Альфа-частица испытывает туннельный переход через кулоновский барьер в ядре. В классическом рассмотрении альфа- частицы не должны покинуть потенциальную яму.

91. Запишите уравнение Шредингера и квантовомеханическое значение энергии для линейного гармонического осциллятора.

Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

Где h- — постоянная Планка; — масса частицы, - внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке. - оператор Лапласа

92.Запишите уравнение Шредингера и квантовомеханическое значение энергии для линейного гармонического осциллятора.

Уравнение Шредингера:

,

Где:

; .

Энергия: , n – главное квантовое число.

93.Запишите уравнение Шредингера и квантовомеханическое значение энергии для атома водорода.

Радиальная часть уравнения Шредингера:

R – функция от радиальной координаты r;

z – заряд атома;

e – заряд электрона;

Значение энергии:

n – номер орбиты – главное квантовое число;

l – орбитальное число;

k – радиальное квантовое число;

94.Какие значения могут принимать полный орбитальный момент импульса электрона и его проекция на ось Z?

Полный орбитальный момент импульса и его проекция на ось Z могут принимать значения, кратные постоянной планка:

l – орбитальное квантовое число, l=0,1,2,…

n – магнитное квантовое число, n=-l,…,0,…,l

95.Как классифицируются состояния электрона по значению квантового числа орбитального момента импульса?

(l, состояние): (0,s); (1,p); (2,d); (3,f); (4,g)…

96.В чём принципиальное отличие энергетического спектра щелочных металлов от спектров атома водорода?

Спектр щелочных металлов расщепляется.

97.Сформулируйте правила отбора для переходов оптического электрона в щелочных металлах.

Наиболее вероятными будут переходы, у которых ∆n – любое; ∆l=±1.

98.Какими переходами обусловлено излучение резонансной линии в спектрах щелочных металлов?

Резонансная линия – линия, обусловленная переходом с ∆n=0.

99.Какими переходами обусловлено излучение линий главной серии в спектрах щелочных металлов?

Переход 2s -> mp, где m=2,3,4,…

100.Какими переходами обусловлено излучение линий резкой серии в спектрах щелочных металлов?

2p -> ms, m=3,4,5,…

101.Какими переходами обусловлено излучение линий диффузной серии в спектрах щелочных металлов?

2p -> md, m=3,4,5,…

102.Что понимается под спином электрона, чему равны квантовые числа спинового момента электрона и его проекции на ось Z?

Спин – число, характеризующее внутреннюю степень свободы частицы (электрона).

s=1/2, s_z=-1/2, ½

103.Какова природа спин-орбитального взаимодействия?

Спин-орбитальное взаимодействие – взаимодействие магнитного момента электрона с внутриатомным магнитным полем.

104.Почему возникает дублетный характер линий в спектрах щелочных металлов?

Из-за спин-орбитального взаимодействия.

Расщепление кровня энергии, вызванное спин-орбитальным взаимодействием, называется тонким расщеплением, а структура спектральных линий, соответствующая переходам между расщеплёнными уровнями, называется тонкой структурой (расстояние между ними на 2 порядка меньше расстояния между уровнями).

105.Чем обусловлен магнетизм атома?

Если перейти к системе отсчёта, связанную с движущимся электроном, то в ней электрон покоится, а ядро движется, создавая внутриатомное магнитное поле. Оно и взаимодействует со спиновым магнитным моментом электрона. Величина внутриатомного магнитного поля зависит от орбитального момента, а величина спинового магнитного момента зависит от спинового.

106.Чему равен орбитальный механический момент электрона?

107.Чему равен орбитальный магнитный момент электрона?

108.Чему равен спиновой механический момент электрона?

109.Чему равен спиновой магнитный момент электрона?

110.Что понимается под «спином» электрона?

Спин – число, характеризующее внутреннюю степень свободы частицы (электрона).

111.Что такое гиромагнитное отношение?

Отношение модуля магнитного момента к модулю механического момента.

112.Чему равно гиромагнитное отношение для орбитального и спинового моментов?

Для орбитального момента:

Измеряется в единицах , обозначается g_l:

Для спинового момента:

113.Как определяется полный механический момент электрона?

Полный механический момент импульса электрона является векторной суммой орбитального момента импульса и спинового:

114.Как определяется полный магнитный момент электрона?

115.Чем определяется тип связи, которая осуществляется образование полного момента атома?

Тем, какие связи преобладают в атоме: LS - когда электростатическое взаимодействие преобладает над спионорбитальным, а jj когда наоборот. LS обычно в начале таблицы, jj в конце.

116.Как находится полный момент в приближении «LS» связи?

Сначала находят полный орбитальный и полный спиновый моменты всех атомов, а затем, суммируя их, находят полный момент.

117.Как находится полный момент в приближении «jj» связи?

Сначала находят полный момент каждого электрона (сумма орбитального и спинового моментов каждого электрона), а затем, суммируя их, находят полный момент.

118.Каково взаимное направление полного механического и магнитного моментов атома?

Полный магнитный момент вращается (прецессирует) вокруг линии, на которой находится полный механический момент.

119.Чему равен фактор Ландэ, и каков его физический смысл?

Фактор Ландэ – гиромагнитное отношение для полного магнитного момента.

Он связывает магнитный и механический моменты:

120.Что называется мультиплетностью терма и каков её физический смысл?

Мультиплетность определяет расщепление уровня энергии на компоненты.

121. Как связан полный магнитный момент атома со значениями его квантовых чисел?

122. Как определяется «магнетон Бора»?

Магнето́н Бо́ра — единица элементарного магнитного момента.

123. Какие эффекты называют магнитомеханическими?

Магнитомеханический эффект заключается в том, что при наложении на газовый разряд продольного магнитного поля порядка нескольких сот эрстед газ в положительном столбе разряда приходит во вращение.

124.В чём заключались опыты Эйнштейна и Де Газа?

125. Чему равна ларморова частота прецессии атома в магнитном поле?

Ларморова частота — угловая частота прецессии магнитного момента, помещенного в магнитное поле. Ларморова частота зависит от силы магнитного поля B и гиромагнитного соотношения γ:

126.В чём заключается эффект Барнетта?

127.На сколько компонент расщепляется энергетический уровень во внешнем магнитном поле?

128.Какое магнитное поле считается слабым при взаимодействии с атомом?

129.Чем отличается эффект Зеемана от эффекта Пашена – Бака?

130.Чем определяется энергия взаимодействия атома с внешним магнитным полем?

Энергия взаимодействия магнитного поля электрона с внешним магнитным полем зависит от величины магнитного квантового числа.

131.Каковы правила отбора для радиационных переходов?