Методички / Т.И. Янина Применение основного закона динамики вращательного движения для определени момента инерции тел
.pdfМинистерство образования Российской Федерации
Государственное учреждение Кузбасский государственный технический университет
Кафедра физики
Применение основного закона динамики вращательного движения для определения момента инерции тел
Методические указания к лабораторной работе № 210 по курсу физики для подготовки студентов всех направлений
Составители Т.И. Янина Л.Г. Соколова
Г.К. Барабошкина
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 5 от 28.01.02.
Рекомендованы к печати методической комиссией направления 550600 Протокол № 12 от 16.04.02.
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2002
1
Лабораторная работа № 210
Применение основного закона динамики вращательного движения для определения момента инерции тел
1.Цель работы: а) изучение законов движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси; б) определение момента инерции тел динамическим методом.
2.Оборудование: экспериментальная установка (стойка с вращающимся столиком), исследуемое тело, груз с нитью, секундомер, штангенциркуль, масштабная рейка.
3.Подготовка к работе: изучить в учебнике [1] §§ 16-19 и в [2]
§§ 4.2, 4.3. Ответить на вопросы в конце методических указаний.
4. Описание установки: схема установки для определения момента инерции динамическим методом изображена на рис.1.
|
На |
подставке 1 вокруг |
|||
|
оси 00’ |
может вращаться |
|||
|
соединенный со шкивом 2 |
||||
|
круглый столик 3. Столик |
||||
|
имеет штыри 4 для закре- |
||||
|
пления исследуемого тела |
||||
|
7. На |
шкив |
наматывают |
||
|
нить и к концу ее, пере- |
||||
|
брошенному через блок 5, |
||||
|
подвешивают |
груз |
6. |
||
|
Опускаясь, груз приводит |
||||
|
шкив и столик во враще- |
||||
|
ние. |
Для |
определения |
||
|
времени |
опускания |
груза |
||
|
необходим |
секундомер, |
|||
|
для определения диамет- |
||||
|
ров шкива и блока – штан- |
||||
|
генциркуль, для измерения |
||||
|
высоты |
опускающегося |
|||
Рис.1 |
груза – линейка. |
|
|||
2
5. Теория метода.
Момент инерции тела I - это мера инертности тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы тела относительно оси вращения. Всякое тело имеет бесчисленное множество моментов инерции, так как существует бесчисленное множество возможных осей вращения.
Моментом инерции материальной точки Ii относительно оси называется произведение массы точки mi на квадрат её расстояния от оси вращения ri.
(1)
Момент инерции тела относительно оси складывается из моментов инерции всех материальных точек, на которые оно может быть разбито:
n
I =∑miri2 .
i=1
Если масса тела распределена по объёму непрерывно, то суммирование удобно заменять интегрированием:
J =∫dmr2 =∫ρr2dV ,
где dV - бесконечно малый объём с массой dm (рис. 2); r - расстояние от объёма dV до оси вращения; ρ - плотность вещества в том месте, где взят объём.
O`
dv r
dm
O
Рис. 2
3
Если теоретический расчет громоздкий, то момент инерции можно определить динамическим методом с помощью описанной выше установки.
Пусть J1 - момент инерции столика со шкивом относительно оси 00’, J 2 - момент инерции столика со шкивом и исследуемым те-
лом относительно оси 00’.
Так как момент инерции – величина аддитивная, то момент инерции исследуемого тела относительно оси вращения равен
JT =J2 −J1 . |
(2) |
Для определения момента инерции J1 |
(или J 2 ) используем ос- |
новное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси:
J = |
M |
, |
(3) |
|
ε |
||||
|
|
|
где M - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения; ε - угловое ускорение.
Очевидно, что
M =M '−M тр |
|
(4) |
|
(рис.2), где |
M ' = F ' |
R - |
мо- |
|
н |
|
F ' , |
мент силы |
натяжения |
||
|
|
|
н |
имеющий плечо R , равное радиусу шкива; M тр- момент
Рис 3 |
сил трения. Так как масса |
блока мала, а нить нерастя- |
|
|
жима, то силы натяжения, |
действующие со стороны нити на шкив F ' |
и на груз массой m F |
||
|
F ' |
н |
н |
(рис. 3), равны по модулю: |
= F . |
(5) |
|
|
н |
н |
|
Силу натяжения Fн можно найти из 2-го закона Ньютона, записанного для груза массой m, в проекции на направление движения:
(6)
где mg - проекция силы тяжести; a - ускорение движения груза, опус-
кающегося с высоты h за время t , a=2t2h , т.е.
4
|
|
2h |
|
|||||
F |
=m g− |
|
|
|
, |
(7) |
||
t2 |
|
|||||||
н |
|
|
|
|
||||
следовательно, момент силы натяжения |
|
|
||||||
|
|
|
2h |
|
|
|||
M '=mR g− |
. |
(8) |
||||||
|
||||||||
|
|
|
t |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как нить нерастяжима, то тангенциальное ускорение aτ
вращения точек обода шкива равно ускорению a опускания груза |
||||||||||||||||||||||||||
массой m |
(аτ=а). |
Поэтому угловое ускорение вращения столика со |
||||||||||||||||||||||||
шкивом равно |
|
|
|
|
|
|
|
aτ |
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ε= |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
Rt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя (4) и (9) в (3) и учитывая (8), получим |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
J = |
mgR2t |
2 |
|
−mR2 − |
M трRt |
2 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
2h |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При постоянной массе груза m, радиусе шкива R , высоте подня- |
||||||||||||||||||||||||||
тия груза h находим моменты инерции J1 и J 2 : |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
mgR2t2 |
|
−mR2 − |
M тр2 |
Rt12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
J1 = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||||||
и |
|
|
|
|
2h |
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M тр2 Rt22 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
mgR2t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
J2 = |
|
|
|
2 |
−mR2 − |
|
|
|
|
. |
(11) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2h |
|
|
2h |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На основании (10), (11) и (2) находим момент инерции иссле- |
||||||||||||||||||||||||||
дуемого тела относительно оси 00’: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
mgR2 2 |
|
2 |
|
R |
|
|
' |
2 |
|
|
|
'' 2 |
|
||||||||||
|
Jэксп= |
|
|
t2 −t1 − |
|
M трt1 −M трt2 , |
(12) |
|||||||||||||||||||
|
2h |
|
2h |
|||||||||||||||||||||||
где M тр'' |
и M тр' |
- |
моменты сил трения для нагруженной и ненагру- |
|||||||||||||||||||||||
женной установки соответственно (их значения указаны на установке); t2 и t1 - время опускания груза массой m с высоты h для нагру-
женной и ненагруженной установки соответственно.
5
6. Выполнение работы
Задание 1. Определение момента инерции стержня.
1.Измерить штангенциркулем радиус шкива R и радиус блока r.
2.Намотать нить на шкив, подняв груз массойm на высоту h . Из-
мерить время t1 опускания груза массой m. Опыт повторить 5 раз.
3.Закрепить на столике 3 исследуемое тело, измерить время t2 опускания груза массой m с высоты h . Опыт повторить 5 раз.
4.Полученные данные занести в табл. 1.
Таблица 1
t1 c
t2 c
Вычислить среднее значение <t1> и <t2 >. 5. Заполнить табл. 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
m |
|
R |
r |
|
h |
|
|
M тр' |
M тр'' |
<t1> |
<t2 > |
||
кг |
|
м |
м |
|
м |
|
|
Н·м |
Н·м |
с |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле |
(12) вычислить момент инерции JT |
тела и сделать |
||||||||||
проверку размерности |
[JT ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6. Вычислить момент импульса исследуемого тела для момента |
||||||||||||
времени t2 относительно оси 00’: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
L |
= |
2JT h |
. |
|
|
(13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
00' |
|
Rt2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.Вычислить кинетическую энергию исследуемого тела в момент времени t2 :
T =2JT h2 . |
(14) |
R2t22 |
|
6
8.Определить момент импульса груза массой m для момента времени t2 относительно оси блока (размерами груза пренебречь):
L = |
2m h r |
, |
(15) |
гр t2
где r - радиус блока, измеренный штангенциркулем.
9.Найти относительную и абсолютную погрешности измерения момента импульса груза Lгр.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение момента инерции тела. Каков физический смысл момента инерции?
2.Дайте определение момента силы и момента импульса относительно: а) точки; б) оси вращения. Каковы свойства этих вели-
чин? |
dPr |
|
r |
|
3. Исходя из основного закона динамики в форме |
|
|
||
dt |
=F , получи- |
|||
|
|
r |
r |
|
|
|
|
dL |
|
те уравнение момента силы для материальной точки |
|
|
=M . |
|
|
dt |
|||
|
|
|
|
|
4.Выведите формулу момента инерции стержня.
5.Выведите формулы (13)-(15).
6.Запишите выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
7.Во сколько раз кинетическая энергия тонкостенного цилиндра больше кинетической энергии сплошного цилиндра такой же массы и размеров; оба цилиндра катятся с одинаковой скоростью.
Список рекомендуемой литературы
1.Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990. – 478 с.
2.Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.:
Высш. шк., 1989. – 608 с.
7
Составители Людмила Григорьевна Соколова
Татьяна Ивановна Янина Галина Кронидовна Барабошкина
Применение основного закона динамики вращательного движения для определения момента инерции тел
Методические указания к лабораторной работе № 210 по курсу физики для студентов всех форм обучения
Рецензенты Н. Б. Окушко Н. Н. Демидова
Редактор Е. Л. Наркевич
НД №06536 от 163.01.02
Подписано в печать 07.05.02. Формат 60х84/16.
Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 0,5 Тираж 75 экз. Заказ Государственное учреждение .
Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя , 28.
Типография Государственного учреждения Кузбасский государственный Технический университет.
650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.