Методички / Т.А. Балашова Дифракция
.pdf
10 |
|
|
|
|
|
где δλ - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при |
|||||
которой эти линии воспринимаются раздельно. Разрешающая сила ди- |
|||||
фракционной решётки зависит от порядка дифракционного максимума |
|||||
m и от числа щелей решётки N и определяется выражением |
|
||||
R = mN . |
|
|
|
(25) |
|
Помимо дифракции на плоской одномерной решётке возможно на- |
|||||
блюдение дифракции на пространственной (трёхмерной) решётке, |
|||||
представляющей собой такую оптически неоднородную среду, неодно- |
|||||
родности которой периодически по- |
|
|
|
|
|
вторяются при изменении всех трёх |
2 |
1 |
|
1′ |
2′ |
пространственных координат. При- |
|
||||
|
|
|
|
|
|
мером пространственной дифракци- |
А |
|
θ |
θ |
А′ |
онной решётки может служить кри- |
|
Е |
F |
||
В |
|
d |
|||
сталлическая решётка твёрдого тела. |
|
D |
|
В′ |
|
|
|
|
|
||
Частицы, образующие эту решётку |
|
|
|
|
|
(атомы, молекулы или ионы), играют |
|
|
Рис. 7 |
|
|
роль упорядоченно расположенных |
|
|
|
||
центров, когерентно рассеивающих падающий на них свет. Так как рас- |
|||||
стояние между этими частицами, то есть периоды решётки, очень малы |
|||||
(~ 10-10 м), то при прохождении через монокристаллы видимого света |
|||||
(λ ~ 10-7 м) дифракцию наблюдать нельзя. Однако для значительно бо- |
|||||
лее коротковолнового рентгеновского излучения (λ ~ 10-12 ÷10-8 м) мо- |
|||||
нокристаллы являются идеальными естественными дифракционными |
|||||
решётками. Дифракцию рентгеновских лучей можно рассматривать как |
|||||
результат их отражения от системы параллельных кристаллографиче- |
|||||
ских плоскостей (то есть плоскостей, в которых лежат узлы кристалли- |
|||||
ческой решётки). Это отражение, в отличие от обычного, осуществляет- |
|||||
ся лишь при таких условиях падения лучей на кристалл, которые соот- |
|||||
ветствуют интерференционным максимумам для лучей, отражённых от |
|||||
разных плоскостей. На рис.7 показаны две соседние кристаллографиче- |
|||||
ские плоскости АА′ и ВВ′. Оптическая разность хода ∆ между лучами 1′ |
|||||
и 2′, отражёнными от плоскостей АА′ и ВВ′, равна |
|
|
|
||
∆ = DE+ DF = 2 d sinθ, |
|
|
|
||
где d – межплоскостное расстояние, θ - угол между падающими лучами |
|||||
и кристаллографической плоскостью (угол скольжения). Если длина |
|||||
волны рентгеновских лучей равна λ, то интерференционные максимумы |
|||||
в отражённых лучах должны удовлетворять условию Вульфа - Брэггов: |
|||||
2 d sinθ = m λ |
(m =1, 2, 3,...). |
|
(26) |
||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
||
ЗАДАЧА 1. Посередине между точечным источником монохромати- |
||||||
ческого света λ = 550 нм и экраном находится диафрагма с круглым от- |
||||||
верстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположен- |
||||||
ном на расстоянии 5 м от источника. Определить наименьший радиус |
||||||
отверстия, при котором центр дифракционных колец, наблюдаемых на |
||||||
экране, будет наиболее тёмным. |
|
|
||||
РЕШЕНИЕ. Пусть отверстие диафрагмы открывает (рис. 8) m зон |
||||||
Френеля. Тогда радиус m-й зоны Френеля |
|
S |
||||
есть не что иное, |
как радиус отверстия, |
а |
|
|||
равный |
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
a b m λ , |
|
|
|
|
m |
|
a+ b |
|
|
|
|
|
|
b |
b + mλ/2 |
||
где m - |
номер зоны Френеля; λ - длина |
|||||
|
|
|||||
волны; a и b – соответственно расстояния |
|
Э |
||||
диафрагмы с круглым отверстием от то- |
|
Рис. 8 |
||||
чечного источника и от экрана, на котором |
|
|||||
|
|
|||||
наблюдается дифракционная картина. |
|
|
||||
Центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наи- |
||||||
более тёмным, если в отверстии укладываются две зоны Френеля, т.е. |
||||||
m = 2. Следовательно, искомый размер отверстия |
|
|||||
r = 
a2+a bb λ .
Вычисляя, получим r = 1,17 мм.
ЗАДАЧА 2. Плоская монохроматическая волна длиной λ = 0,60 мкм падает нормально на щель шириной b = 0,04 мм (см. рис.3). За щелью находится собирающая линза (F = 40 см), в фокальной плоскости которой расположен экран наблюдения. Определить положение минимумов первого и второго порядков на экране.
РЕШЕНИЕ. В точку х = 0 – главный фокус линзы – приходят лучи, идущие под углом ϕ = 0, т.е. в этой точке – центральный максимум. Координата любой точки на экране, в которую приходят лучи с углом ди-
фракции ϕ:
x = f tgϕ .
Условие дифракционных минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально,
12
b sinϕ = ±m λ .
Для минимумов 1-го и 2-го порядков (m =1; 2) углы ϕ1 и ϕ2 удовлетворяют условию
sin ϕ = |
λ |
= 0,015 , |
sinϕ |
2 |
= |
2 λ |
= 0,030 . |
|
|
||||||
1 |
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные значения синусов настолько малы, что можно считать sinϕ ≈ tgϕ . Тогда координаты минимумов 1-го и 2-го порядков
x1 = f sinϕ1 = ±6 мм , |
x2 = f sinϕ2 = ±12 мм. |
ЗАДАЧА 3. На дифракционную решетку падает плоская волна, фронт которой параллелен плоскости решетки. Общее число штрихов решетки N=1000, период d = 5,1 мкм. Падающий свет содержит две волны: λ1 =460 нм и λ2 =460,2 нм. Начиная с какого порядка спектра эти линии будут разрешены? Определить угол дифракции найденного порядка спектра. Какой наибольший порядок спектра можно наблюдать с такой решеткой? Наблюдение дифракционной картины ведется в параллельных лучах с помощью соответствующей оптической системы.
РЕШЕНИЕ. В соответствии с критерием Рэлея, волны с длинами λ1 и λ2 можно считать разрешенными, если максимум m-го порядка для волны λ2 совпадает с минимумом для волны λ1, ближайшим к ее максимуму того же m-го порядка. Для волны λ2 положение m-го максимума
sinϕm = mdλ2 .
Между каждыми двумя главными максимумами лежат по (N-1) добавочных минимумов. Положение добавочных минимумов определяется из условий (17). Минимумы для λ1, ближайшие к ее максимуму того же m-го порядка:
|
′ |
|
λ1 |
|
|
′′ |
|
λ1 |
|
|
sinϕ |
= (m N−1)d N |
, |
sinϕ |
= (m N+1)d N . |
||||||
|
|
|||||||||
Поскольку λ2>λ1, надо, чтобы угол ϕm совпадал с углом ϕ″. Тогда m λ2 = (m N+1)λ1 
N , откуда искомый порядок спектра
m = |
λ1 |
|
= 2,3 . |
||
N (λ |
2 |
−λ |
) |
||
|
|
1 |
|
|
|
Это значит, что разрешение указанных волн начнется только с главных максимумов 3-го порядка. Угол дифракции спектра найденного порядка может быть определен для m=З:
13
ϕ3 = arcsin 3dλ2 =16o .
Наибольший порядок спектра, который можно наблюдать, определяется условием ϕмакс<π/2. Следовательно,
sin ϕмакс = |
mмакс λ |
<1 и |
mмакс < |
d |
=11,3 . |
|
d |
λ |
|||||
|
|
|
|
Это значит, что можно наблюдать 11 порядков спектра, 11 главных максимумов.
ЗАДАЧА 4. Свет с длиной волны 500 нм падает на прозрачную дифракционную решётку, период которой равен 2,50 мкм, под углом θ = 30° к нормали (см. рис. 6). Найти угол с нормалью к решётке, под которым образуется фраунгоферов максимум наибольшего порядка.
РЕШЕНИЕ. Как известно, при разности хода лучей, идущих от эквивалентных точек соседних щелей, равной целому числу длин волн, наблюдаются максимумы. Согласно рис. 6, имеем
∆ = d sinθ−d sinϕm = d (sin θ−sinϕm )= ±m λ ,
где d - период дифракционной решётки, ϕm – угол дифракции, определяющий положение m-го максимума; m = 0, 1, 2, 3,…
Порядок дифракционного максимума
|
|
|
m = ± |
d |
(sin θ−sinϕm ). |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|||||
Так как sin ϕm ≤1, то |
|
m |
|
≤ |
d |
(1−sin θ). Подставив числовые зна- |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
λ |
||||||||||||
чения, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
m |
|
≤ |
2,5 10−6 |
(1−0,5)= 2,5. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 10−7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, найдём, что mмакс = 2, тогда угол дифракции, соответствующий фраунгоферову максимуму наибольшего порядка, равен:
|
mмаксλ |
|
|
|
2 5 10 |
−7 |
|
|
o |
|
o ′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ϕмакс = arcsin sin θ− |
|
|
= arcsin |
0,5 |
− |
|
|
|
= 5,7 |
|
= 5 |
42 . |
|
|
2,5 10 |
−6 |
|
||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЗАДАЧА 5. Какое наименьшее число штрихов должна содержать дифракционная решётка, чтобы в спектре первого порядка можно было
14
разделить две жёлтые линии натрия с длинами волн λ1= 589 нм, λ2=589,6 нм? Какова длина такой решётки, если постоянная решётки d = 10 мкм?
РЕШЕНИЕ. Разрешающая способность дифракционной решётки оп-
ределяется формулой (25)
R = ∆λλ = k N ,
где N – общее число щелей решётки; k – порядок спектра; λ, λ + ∆λ - длины двух близких спектральных линий, ещё разрешаемых решёткой.
Общее число щелей
N = |
λ |
= |
|
λ1 |
= 982 . |
|
k ∆λ |
k (λ |
2 |
−λ ) |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
Длина решётки
l = d N = 9,8 мм.
Основные формулы
•Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической вол-
ны
r = a b m λ , |
(27) |
m |
a+ b |
|
где m – номер зоны Френеля; λ - длина волны; a и b – соответственно расстояние диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника и от экрана, на котором наблюдается дифракционная картина.
• Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально:
max : |
b sin ϕ = ±(2 m+1) |
λ |
, |
(28) |
|||
2 |
|||||||
|
|
λ |
|
|
|||
min : |
b sinϕ = ±2 m |
|
|
(m =1, 2, 3, ...), (29) |
|||
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
где b – ширина щели; ϕ - угол дифракции; m- порядок дифракционного спектра; λ - длина волны.
•Условие главных максимумов и дополнительных минимумов дифракционной решётки, на которую свет падает нормально:
max : d sinϕ = ±2 m |
λ |
(m = 0, 1, 2, 3,...). |
(30) |
|
2 |
||||
|
|
|
15
min : d sinϕ = ±m′ Nλ (m′ =1, 2,3..., кроме 0, N, ...), (31)
где d – период дифракционной решётки; N- число штрихов решётки.
• Период дифракционной решётки
d = |
1 |
, |
(32) |
|
n |
||||
|
|
|
где n – число щелей, приходящихся на единицу длины решётки.
• Угловая дисперсия дифракционной решётки
D = |
δϕ |
= |
m |
. |
(33) |
|
δλ |
d cosϕ |
|||||
|
|
|
|
• Линейная дисперсия дифракционной решётки
Dлин = f |
m |
, |
(34) |
|
d |
||||
|
|
|
где f – фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране.
• Разрешающая способность дифракционной решётки
R = |
λ |
= mN , |
(35) |
|
δλ |
||||
|
|
|
где λ, (λ + δλ) – длины волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых решёткой; m – порядок спектра; N – общее число щелей решётки.
• Условие дифракционных максимумов от пространственной решётки (формула Вульфа – Брэггов)
2 d sin θ = m λ, |
(36) |
где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; θ - угол скольжения.
Задачи для самостоятельного решения
1.ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ.
1.1.Точечный источник света (λ=0,5 мкм) расположен на расстоянии а = 1 м перед диафрагмой с круглым отверстием диаметром d = 2 мм. Определить расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения, если отверстие открывает три зоны Френеля.
1.2.Определить радиус шестой зоны Френеля, если радиус второй зоны Френеля для сферического волнового фронта равен 1,5 мм.
16
1.3.Определить радиус третьей зоны Френеля, если расстояния от точечного источника света (λ=0,6 мкм) до волновой поверхности и от волновой поверхности до точки наблюдения равны 1,5 м.
1.4.На диафрагму с круглым отверстием d = 5 мм падает нор-
мально параллельный пучок света с длиной волны λ=0,6 мкм. Определить расстояние от точки наблюдения до отверстия, если отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля.
1.5.Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохроматического света (λ=0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране является наиболее темным.
1.6.Определить радиус первой зоны Френеля, если расстояния от
точечного источника света (λ=0,5 мкм) до зонной пластинки и от пластинки до места наблюдения а = b = 1 м.
1.7.На зонную пластинку падает плоская монохроматическая волна (λ = 0,5 мкм). Определить радиус первой зоны Френеля, если расстояние от зонной пластинки до места наблюдения b = 1 м.
1.8.На экран с круглым отверстием радиусом r = 1,2 мм нормально падает параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны λ = 0,6 мкм. Определить максимальное расстояние от отверстия до точки на его оси, где в центре дифракционной картины ещё можно наблюдать темное пятно.
1.9.Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохроматического света (λ=0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране является наиболее темным.
1.10.Определить радиус четвертой зоны Френеля, если радиус второй зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 2 мм.
1.11.Сферическая волна, распространяющаяся из точечного моно-
хроматического источника света (λ=0,6 мкм), встречает на своем пути экран с круглым отверстием радиусом r = 0,4 мм. Расстояние a от источника до экрана равно 1 м. Определить расстояние от отверстия до точки экрана, лежащей на линии, соединяющей источник с центром отверстия, где наблюдается максимум освещенности.
1.12. Зонная пластинка дает изображение источника, удаленного от нее на 2 м, на расстоянии 1 м от своей поверхности. Где получится изображение источника, если его удалить в бесконечность?
17
1.13. На экран с круглым отверстием радиусом r = 1,5 мм нормально падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ = 0,5 мкм. Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии b =1,5 м от него. Определить: 1) число зон Френеля, укладывающихся в отверстии; 2) темное или светлое кольцо наблюдается в центре дифракционной картины, если в месте наблюдения помещен экран.
1.14.Дифракция наблюдается на расстоянии L от точечного источника монохроматического света (λ = 0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится непрозрачный диск диаметром 5 мм. Определить расстояние L, если диск закрывает только центральную зону Френеля.
1.15.Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного ис-
точника монохроматического света (λ=0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране является наиболее темным.
2.ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА НА ЩЕЛИ.
2.1.На щель шириной a = 0,05 мм падает нормально монохроматический свет (λ= 0,6 мкм). Определить угол ϕ между первоначальным направлением пучка света и направлением на четвертую темную дифракционную полосу.
2.2.На щель шириной а = 2 мкм падает нормально параллельный
пучок монохроматического света (λ = 589 нм). Под какими углами ϕ будут наблюдаться дифракционные минимумы света?
2.3.На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Угол ϕ отклонения пучков света, соответствующих второй светлой дифракционной полосе, равен 1°. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?
2.4.На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохромати-
ческий свет (λ = 0,5 мкм). За щелью помещена собирающая линза, в фокальной плоскости которой находится экран. Что будет наблюдаться на экране, если угол дифракции равен: 1) 17′; 2) 43′.
2.5. На щель шириной а = 5λ падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ. Под каким углом ϕ будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?
18
2.6.На узкую щель шириной а = 0,05 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 694 нм. Определить направление света на вторую светлую дифракционную полосу (по отношению к первоначальному направлению света).
2.7.На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Его направление на четвертую темную дифракционную полосу состав-
ляет 21°. Определить, сколько длин волн укладывается на ширине щели.
2.8.На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохроматический свет (λ = 0,6 мкм). Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен параллельно щели на расстоянии L = 1 м. Определить расстояние b между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
2.9.На пластинку со щелью, ширина которой а = 0,005 мм, падает
нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 0,7 мкм. На какой угол отклоняет она спектр четвертого порядка?
2.10.Монохроматический свет с длиной волны λ = 0,6 мкм падает на длинную прямоугольную щель шириной а = 12 мкм под углом
ϕ= 45° к ее нормали. Определить угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
2.11.Монохроматический свет падает на длинную прямоугольную
щель шириной а = 12 мкм под углом ϕ = 30° к ее нормали. Определить длину волны λ света, если направление на первый минимум (m = 1) от центрального фраунгоферова максимума составляет 33°.
2.12.Свет с длиной волны λ = 0,5 мкм падает на щель шириной b = 10 мкм под углом 30° к её нормали. Найти угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
2.13.На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохромати-
ческий свет с длиной волны λ = 0,5 мкм. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определить расстояние L от щели до экрана, если ширина центрального дифракционного максимума b = 1 см.
2.14. На непрозрачную пластину с узкой щелью падает нормально плоская монохроматическая волна (λ = 600 нм). Угол отклонения лучей, соответствующих второму дифракционному максимуму, ϕ = 20°. Определить ширину а щели.
19
2.15. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ. Ширина щели равна 6λ. Под каким углом будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?
3.ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА НА РЕШЁТКЕ
3.1.Какое число штрихов N на единицу длины имеет дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (λ = 546,1 нм) в спектре первого порядка наблюдается под углом ϕ = 19°?
3.2.Сколько штрихов на каждый миллиметр содержит дифракци-
онная решетка, если при наблюдении в монохроматическом свете (λ = 0,6 мкм) максимум пятого порядка отклонен на угол ϕ = 18°?
3.3.Найти наибольший порядок k спектра для желтой линии натрия (λ = 589 нм), если постоянная дифракционной решетки d = 2 мкм.
3.4.На дифракционную решетку нормально падает монохромати-
ческий свет с длиной волны λ = 600 нм. Определить наибольший порядок спектра, полученный с помощью этой решетки, если ее постоянная
d= 2 мкм.
3.5.На дифракционную решетку длиной l = 1,5 мм, содержащей N = 3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет с длиной
волны λ = 550 нм. Определить: 1) число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки; 2) угол, соответствующий последнему максимуму.
3.6.Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу ϕ = 30° соответствует максимум четвертого порядка для монохроматического света с длиной волны λ = 0,5 мкм.
3.7.Монохроматический свет нормально падает на дифракционную решетку. Определить угол дифракции, соответствующий максимуму четвертого порядка, если максимум третьего порядка отклонен на
ϕ= 18°.
3.8.На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет. Определить угол дифракции для линии 0,55 мкм в четвертом порядке, если этот угол для линии 0,6 мкм в третьем порядке со-
ставляет ϕ3 = 30°.
3.9. Дифракционная решетка освещена нормально падающим монохроматическим светом. В дифракционной картине максимум второго порядка отклонен на угол ϕ2 = 14°. На какой угол ϕ3 отклонен максимум третьего порядка?