Двойственные задачи линейного программирования
Экономическая интерпретация
Математическая формулировка задачи об использовании ресурсов
F x 7x1 5x2 max |
(1) |
при ограничениях |
2x1 |
3x2 |
19, |
||
|
2x |
x |
2 |
13, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0x |
3x |
2 |
15, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3x |
0x |
2 |
18. |
|
|
1 |
|
|
|
|
x1 0, x2 0
(2)
(3)
Выручка от продажи всего сырья, расходуемого на единицу продукции
вида П1 по ценам У1 составит: |
2y1 2y2 |
0y3 |
3y4 |
Предприятию выгодно продавать |
сырье, если |
|
|
|
2y1 2y2 |
0y3 |
3y4 |
7, |
(5) |
|||
|
3y 1y |
2 |
3y |
3 |
0y |
4 |
5. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
y1 , y2 , y3 , y4 0 |
|
|
(6) |
||||
Прямая и двойственная задачи
Первая (основная) теорема двойственности
Теорема: Если одна из сопряженных задач имеет оптимальное решение , то и вторая имеет оптимальное решение, при этом
Fmax = Zmin или F(X*) = Z(Y*).
Если линейная функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.
Пример:
F = 2 х1 + 3 х2 max |
Z =18y1 + 16y2 +5y3 + 21y4 min |
||
|
при ограничениях: |
при ограничениях: |
|
х1 + 3х2 <= 18 |
y1 + 2 y2 |
+ 3 y4 >= 2 |
|
2х1 + х2 <= 16 |
3 y1 + y2 + y3 |
>= 3 |
|
3x1 |
х2 <= 5 |
y1, y2, y3, y4 >= 0 |
|
<= 21 |
|
|
|
х1, х2 >= 0 |
Z min = 24 |
|
|
|
F max = 24 |
|
|
Х* = (х1*, х2*, …,хn*) |
Y* = (y1*, y2*, …, ym*) |
||
Вторая теорема двойственности
Теорема: Для того чтобы два допустимых решения и пары двойственных задач были их оптимальными решениями необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений
(1)
Соответствие между первоначальными переменными одной из двойственных задач и дополнительными переменными другой задачи:
Пример второй теоремы двойственности
F = 2 х1 + 3 х2 max |
Z =18y1 + 16y2 +5y3 + 21y4 min |
||
|
при ограничениях: |
при ограничениях: |
|
х1 + 3х2 <= 18 |
y1 + 2 y2 |
+ 3 y4 >= 2 |
|
2х1 + х2 <= 16 |
3 y1 + y2 + y3 |
>= 3 |
|
|
х2 <= 5 |
y1, y2, y3, y4 >= 0 |
|
3x1 |
<= 21 |
|
|
х1, х2 >= 0 |
|
Z min = 24 + y3 + 3y4 + 6y5 + 4y6 = 24 |
|
F max = 24 – 4/5х3 – 3/5х4 |
= 24 |
||
при оптимальном БР |
|||
при оптимальном БР |
|
||
|
Y* =(4/5; 3/5; 0; 0; 0; 0). |
||
|
|
Экономическая интерпретация двойственных задач
Пример:
Решение прямой задачи
Из таблицы видно, что оптимальным решением двойственной задачи является 
Критические границы и допустимые изменения ресурса
Для производства двух видов изделий А и В используется четыре различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в количестве, соответственно не большем 18, 16, 5 и 21 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице.
Определить план выпуска продукции, при котором обеспечивается ее максимальная стоимость, и провести анализ чувствительности.
Решение задачи симплекс-методом
ЭММ: |
|
|
F = 2x1 + 3х2 max |
при ограничениях: |
|
х1 + 3х2 <= 18 |
|
|
2х1 + х2 <= 16 |
|
|
|
х2 <= 5 |
|
3x1 |
<= 21 |
|
х1, х2 >= 0 |
|
|
Решив симплекс-методом получили на последнем шаге:
F= 24 – 4/5х3 – 3/5х4 при оптимальном БР Х* =(6; 4; 0; 0; 1; 3).