Наумов Моделирование нестационарных и аварийных 2007

Если начало координат поместить в центр активной зоны размером H, то собственное пространственное распределение плотности нейтронов и концентрации эмиттеров запаздывающих нейтронов можно представить в виде:

Если реактор имеет запас реактивности и распределенную систему регуляторов, то он может быть скомпенсирован различными способами, и в зависимости от способа компенсации в реакторе сформируется распределение плотности нейтронов и концентрации эмиттеров, отличающееся от (1.24). Представим эти стационарные распределения в виде ряда Фурье по собственным функциям однородного реактора:

Пусть в момент t = 0 произошло перемещение однородно распределенных по реактору регуляторов, и реактор стал нестационарным. Нестационарное пространственно-временное распределение плотности нейтронов и концентрации эмиттеров можно представить в виде рядов Фурье с коэффициентами, зависящими от времени:

Выражения (1.25) можно считать начальными условиями для

(1.26). Или:

21

Можно показать, что уравнения, описывающие изменение амплитуд nk (t) , Ck (t) , формально совпадают с уравнениями точечной кинетики (1.6):

dnk (t) = ρkΛ−β nk (t) +Ck (t) ; dt

(1.27)

dCk (t) = β nk (t) −λCk (t) . dt Λ

Отличие состоит в том, что вместо реактивности ρ в первом уравнении системы (1.27) стоит параметр ρk, который можно условно назвать реактивностью для k-й гармонической составляющей плотности нейтронов. Параметр ρk связан с ρ соотношением:

где М – длина миграции нейтронов. Из выражения (1.28) следует, что параметр ρ0, соответствующий основной, нулевой гармонической составляющей плотности нейтронов, в точности совпадает с классическим определением реактивности ρ. Для всех гармонических составляющих с номером k > 0 соответствующие значения па-

раметра ρk < ρ.

При решении системы уравнений (1.27) для каждого номера k можно воспользоваться известными решениями (1.9) с учетом введенного определения ρk . Если далее ограничиться приближением «мгновенного скачка», то общее решение задачи о пространствен- но-временном изменении плотности нейтронов в плоском одномерном реакторе можно привести к виду:

22

ми нестационарных процессов в реакторе могут быть как внешние изменения реактивности, вызванные, например, задачами управления, так и возмущения физических свойств реактора при нарушениях в системе теплоотвода (изменение расхода и входной температуры теплоносителя, изменение давления в контуре циркуляции, нарушения в работе теплообменного оборудования и т.д.). Нестационарное поведение реактора при наличии обратных связей в реактивности может существенно отличаться от поведения, предписываемого моделями кинетики (без учета обратных связей).

Эффекты и коэффициенты реактивности

Обратные связи и эффекты реактивности в общем случае проявляются через изменение нейтронных сечений, обусловленные изменением спектра нейтронов и плотности поглощающих и замедляющих нейтроны материалов. Если возмущения реактивности не слишком велики, так, что при установлении связи между реактивностью и изменением какого-либо параметра xi можно ограничиться линейной моделью, эффект реактивности может быть представлен в виде:

Коэффициент αi = ∂ρ носит название коэффициента реактив-

∂xi

ности по параметру xi (температуре топлива, плотности теплоносителя и т.д.). Если в переходном процессе происходит изменение нескольких параметров xi, то полное изменение реактивности можно представить в виде суммы:

24

При анализе медленных переходных процессов, в частности, в задачах управления, часто ограничиваются одной комплексной обратной связью по мощности реактора:

dW W

Под W можно понимать полную мощность реактора, удельную мощность (на единицу объема активной зоны), относительную мощность W/W0 по отношению к исходному состоянию. В соответствии с принятым определением W определяется и размерность αW. Поскольку мощность есть первопричина изменения физических параметров реактора, коэффициент реактивности αW может быть выражен через коэффициенты реактивности по всем параметрам, претерпевшим изменение:

Производные под знаком суммы отражают асимптотическое изменение параметров xi при изменении мощности. Если переходный процесс сопровождается изменением физических параметров компонентов реактора с постоянными времени, превышающими постоянную времени изменения мощности, то динамическая модель с обратной связью по мощности может оказаться некорректной. Такая ситуация может возникнуть, в частности, при моделировании быстрых аварийных процессов.

Уравнения кинетики в приложении к задачам динамики можно преобразовать таким образом, чтобы в них входила не плотность нейтронов, а мощность, непосредственно влияющая на изменение физических параметров реактора:

dW = ρ−βW + ∑λiCi ; dt Λ i

(2.5)

25

dCdti = βΛi W −λiCi .

Система уравнений (2.5) получается из системы уравнений для кинетики реактора (1.3) простым умножением на постоянный множитель, зависящий от способа определения мощности W. Если W – полная мощность реактора, то она связана с плотностью нейтронов соотношением: W = nv Σ f EV А.З. , где v – скорость нейтронов, Σf –

макросечение деления, Е – энергия на один акт деления, VА.З. – объем активной зоны. В этом случае функцию Ci , характеризующую вклад запаздывающих нейтронов i-й группы в мощность реактора, следует определить, как

Если мощность и концентрации эмиттеров измеряются в относительных единицах, комплекс vΣfEVА.З. может быть положен равным единице.

Уравнения (2.5) не содержат внешнего источника нейтронов. Если в переходном процессе внешний источник нейтронов является существенным фактором, он может быть введен в уравнения с соблюдением размерности.

Основное отличие уравнений динамики от уравнений кинетики состоит в том, что реактивность ρ есть функция как внешнего воздействия, так и изменяющихся в переходном процессе физических параметров компонентов реактора. Поскольку физические параметры сами зависят от мощности, уравнения динамики нелинейны. Корректно построенная модель динамического процесса должна включать, помимо системы (2.5), уравнения связи физических параметров с мощностью реактора. Ниже приведены примеры построения динамических моделей в точечном приближении для различных случаев, представляющих интерес с точки зрения безопасности реактора.

26

Модель с обратной связью по мощности реактора

Если известен коэффициент реактивности по мощности реактора αW, уравнения динамики с обратной связью по мощности можно сформулировать следующим образом:

dWdt(t) = ρΛ−βW (t) +λC (t);

ρ = ρ0 + αW (W −W0 ),

где W0 – исходное значение мощности. Если αW < 0, то любое малое отклонение мощности от исходного значения W0 будет приводить к появлению реактивности со знаком, обратным знаку отклонения мощности, стремящейся вернуть систему к ее исходному стационарному состоянию. Внешнее воздействие, например, скачкообразный ввод реактивности ρ0 > 0, при наличии отрицательной обратной связи по мощности, рано или поздно переведет систему в новое стационарное состояние с мощностью W1, соответствующей условию:

При наличии положительной обратной связи система будет неустойчива, и при любом малом исходном возмущении будет удаляться от исходного стационарного состояния. При вводе малой положительной реактивности мощность реактора будет неограниченно возрастать. Сочетание малой отрицательной реактивности с положительной обратной связью по мощности приведет к снижению мощности вплоть до остановки реактора.

Серьезный недостаток модели с обратной связью по мощности состоит в том, что в ней отсутствует запаздывание между изменением мощности и изменением реактивности. Вследствие этого мо-

27

дель с такой обратной связью может быть использована для анализа достаточно медленных процессов, когда временное поведение системы можно представить в виде последовательности квазистационарных состояний. Фактически изменение реактивности, обусловленное той или иной обратной связью, происходит не прямо из-за изменения мощности, а в связи с последующими за изменением мощности изменениями температуры топлива, температуры и плотности замедлителя и теплоносителя и т.д. Эти изменения физических параметров реактора происходят не мгновенно и могут быть описаны соответствующими уравнениями, формирующими в сочетании с базовыми уравнениями кинетики (2.5) модели динамики в тех или иных приближениях. Обратная связь по мощности может использоваться как один из компонентов обратных связей, имитирующий «быструю» обратную связь, в более сложных моделях динамики.

Модель с обратной связью по температуре топлива

Простейшая модель с обратной связью по температуре топлива, зависящей от мощности реактора, может быть сформирована следующим образом:

dWdt(t) = ρΛ−βW (t) +λC (t);

mT cT dTT (t) =W (t) −W0; dt

ρ = ρ0 + αT (TT −TT0 ),

где W(t) и T(t) – текущие значения мощности реактора и средней температуры топлива; W0 и TT0 , соответственно, мощность и сред-

няя температура топлива в исходном стационарном состоянии с

28

ρ = 0; αT – коэффициент реактивности по температуре топлива; mT и cT соответственно, масса и теплоемкость топлива.

Если коэффициент реактивности по температуре топлива отрицателен, то при введении положительной реактивности ρ0 < β реактор перейдет в новое стационарное состояние, характеризуемое новыми значениями мощности и температуры топлива. Положительная обратная связь по температуре топлива будет дестабилизирующим фактором, приводящим к неустойчивости реактора.

Допустимо применение этой модели при очень малых временах после внесения возмущения, когда условия теплоотвода не очень сильно отразились на температуре топлива. Более корректные модели, учитывающие энергетический баланс и изменение температур компонентов реактора при наличии теплоносителя, сформулированы ниже.

Модель динамики при наличии обратных связей по температурам топлива и замедлителя и неизменной температуре теплоносителя

Наличие нескольких обратных связей, с разными знаками коэффициентов реактивности, возможно, приводит к более сложным динамическим процессам, в которых заранее трудно предсказать результат. Ниже приведена модель динамики с двумя обратными связями по температурам топлива и замедлителя. Предполагается, что топливо и замедлитель, в котором имеет место энерговыделение за счет энергии замедляющихся нейтронов и поглощенных гамма-квантов, охлаждаются одним и тем же теплоносителем. Прототипами такого рода систем могут быть, например, канальные реакторы с твердым замедлителем–графитом, охлаждаемые кипящей водой. Долю энергии, выделяющейся в замедлителе, обозначим буквой ε. В типичных ситуациях эта доля составляет 5–7 %. Будем полагать, что обратная связь по плотности кипящего теплоносителя отсутствует. Модель динамики в этих предположениях имеет вид:

29

ρ =ρ0 +αT (TT −TT0 ) +αз(Tз −Tз0 ),

где ТТ и Тз – средние температуры топлива и замедлителя; mT, mз, cТ, сз – соответственно, их массы и теплоемкости; TT/н – средняя температура теплоносителя; kT и kз – коэффициенты теплопередачи от топлива и замедлителя к теплоносителю.

В данной и последующих моделях коэффициенты теплопередачи определены по отношению к полной мощности, передаваемой топливом или замедлителем теплоносителю. Например, для топлива:

Если известен коэффициент теплопередачи через единичную поверхность теплосъема k0, то коэффициент теплопередачи по отношению к полной мощности может быть получен умножением k0 на полную поверхность теплосъема.

Динамическое поведение реактора с двумя обратными связями зависит от величин коэффициентов реактивности, долей выделяемой энергии в компонентах реактора, массы и теплоемкости компонентов. В реакторах канального типа присутствует положительная обратная связь по температуре замедлителя. Модель (2.10) может быть использована для выяснения условий, при которых эта обратная связь окажет дестабилизирующее влияние на динамическое поведение реактора.

30